Considere a função definida de ir em ir f(x − x² 2x 1 o valor máximo que essa função assume é)

Definimos como função do 2º grau, ou função quadrática, a função R → R, ou seja, uma função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao conjunto dos números reais, e que possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c.

Índice Show

O que é uma função do 2º grau?
Raízes da função de 2º grau
Gráfico de uma função do 2º grau
Vértice da parábola
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Exercícios resolvidos

O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola e possui elementos importantes, que são:

as raízes da função quadrática, calculadas pelo x’ e x”;
o vértice da parábola, que pode ser encontrado a partir de fórmulas específicas.

Leia também: O que são domínio, contradomínio e imagem de uma função?

O que é uma função do 2º grau?

Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R.

O gráfico da função do 2º grau é sempre uma parábola.

Exemplos:

a) f(x) = 2x²+3x + 1

a = 2

b = 3

c=1

b) g(x) = -x² + 4

a = -1

b = 0

c = 4

c) h(x) = x² – x

a = 1

b = -1

c = 0

Para encontrar o valor numérico de qualquer função, conhecendo a sua lei de formação, basta realizarmos a substituição do valor de x para encontrar a imagem f(x).

Exemplos:

Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule:

a) f(0)
f(0) = 0² +2·0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3

b) f(1)
f(1) = 1² + 2·1 + 3 = 1+2 – 3 = 0

c) f(2)
f(2) = 2² + 2·2+3 = 4+4–3=5

d) f(-2) f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3

f(-2) = 4 - 4 – 3 = –3

Veja também: Quais são as diferenças entre equação e função?

Raízes da função de 2º grau

Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto.

A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

Exemplo:

f(x) = x² +2x – 3

a = 1

b = 2

c = –3

Δ =b² – 4ac

Δ=2² – 4 ·1·(-3)

Δ=4 +12

Δ = 16

Então, os zeros da função são {1, -3}.

O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:

Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas;
Δ = 0 → a função possui uma única raiz real;
Δ < 0 → a função não possui raiz real.

Gráfico de uma função do 2º grau

O gráfico de uma função do 2º grau é representado sempre por uma parábola. Existem duas possibilidades, dependendo do valor do coeficiente “a”: a concavidade da parábola pode ser para cima ou para baixo.

Se a > 0, a concavidade é para cima:

O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir.

Se a < 0, a concavidade é para baixo:

Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, maior valor que f(x) pode assumir.

Para fazer o esboço do gráfico, precisamos encontrar:

os zeros da função;
o ponto em que a função intercepta o eixo y;
o ponto de máximo ou de mínimo da parábola, que conhecemos como vértice da parábola.

Veja também: Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Vértice da parábola

Como vimos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por xv e yv.

Para calcular o valor de V (xv, yv), utilizamos as fórmulas:

Exemplo:

Encontre o vértice da parábola f(x) = –x² +4x – 3.

a = -1.

b = 4.

c = -3

Calculando o Δ e aplicando a fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ=b² – 4ac

Δ=4² – 4(-1) (-3)

Δ=16 – 12

Δ=4

Representação gráfica de uma função do 2º grau

Para realizar o esboço do gráfico de uma função, é necessário encontrar três elementos: os zeros ou raízes da função, o vértice e o ponto em que a função toca o eixo y, conforme o exemplo a seguir.

Exemplo:

f(x) = x² – 6x + 8

1º passo: As raízes da função são os pontos em que a parábola toca o eixo x, logo queremos encontrar os pontos (x’, 0) e (x”,0).

Para isso faremos f(x) = 0, então temos que:

x² – 6x + 8=0

a= 1

b= -6

c = 8

Δ = b² -4ac

Δ = (-6)² -4·1·8

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto A(4,0) e o ponto B (2,0).

2º passo: encontrar o vértice da parábola.

Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1).

3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Para isso, basta calcular f(0):

f(x) =x² – 6x + 8

f(0) = 0² -6·0 + 8

f(0) = 8

Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico.

4º passo: Agora que temos os pontos, vamos marcá-los no plano cartesiano e fazer o esboço do gráfico da parábola.

A(4,0)

B(2,0)

V(3,-1)

C(0,8)

Acesse também: Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2013 – PPL) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x)= -x²+ 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.

Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a:

A) 4 B) 6 C) 9 D) 10

E) 14

Resolução

Alternativa B.

Sabendo que a função lucro L(x) é uma função do 2º grau, a = -1, ou seja, o seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, queremos encontrar o ponto de máximo da função, ou seja, o vértice. Como x representa a quantidade de bonés, então a quantidade de bonés que maximiza o lucro é o xv.

b = 12

a = -1

Questão 2 – (Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

A) V = 10.000 + 50x – x². B) V = 10.000 + 50x + x². C) V = 15.000 – 50x – x². D) V = 15.000 + 50x – x².

E) V = 15.000 – 50x + x².

Resolução

Alternativa D.

Analisando a situação, com o combustível a R$ 1,50, são vendidos 10.000 litros, logo é faturado um total de:

10.000·1,50 = 15.000 → R$ 15.000,00.

É possível perceber que o valor arrecadado (V) é igual ao produto da quantidade Q pelo preço P.

V = Q . P

Quando se abaixa 1 centavo, a quantidade vendida aumenta em 100 litros, ou seja:

Q = 10.000 + 100x

Por outro lado, o preço terá o desconto de 1 centavo, o que podemos representar por:

P = 1,50 – 0,01x

Sendo assim, o valor é calculado por:

V = Q·P

V = (10.000 + 100x) ·(1,50 – 0,01x)

Aplicando a propriedade distributiva, temos que:

V = 15.000 – 100x + 150x – x²
V = 15.000 +50x – x²

Teste os seus conhecimentos sobre função inversa por meio desta lista de exercícios com gabarito comentado.

Questão 1

Dada a função f: R → R, com lei de formação igual a f(x) = 2x + 1, e seja f-1 sua função inversa, o valor de f- -1 (7) é:

A) 0.

B) 1.

C) 2.

D) 3.

E) 4.

Questão 2

Suponha que a função f seja inversível e que sua lei de formação seja f(x) = 5x – 10. A lei de formação da sua inversa é:

Questão 3

Dada a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e lei de formação f(x) = 2x – 5. Sabendo que f-1 é sua inversa, o ponto a seguir que pertence ao gráfico de f-1 é:

A) A(1, – 3).

B) B(4, 5).

C) C(2,1).

D) D(1,3).

Questão 4

(Consulpan) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é:

A) 2

B) 9

C) 12

D) 15

Questão 5

Dada a função f(x) = log2 (x+3) – 2, suponha que ela seja uma função inversível. Desse modo, a lei de formação da sua função inversa é:

A) f-1(x) = 2x – 2 – 3

B) f-1(x) = 2x+3 +2

C) f-1(x) = 3x – 2

D) f-1(x) = log3 (x – 2)

E) f-1(x) = (x+3)² + 2

Questão 6

Dada a função f: A → B, em que A ={0,1, 2, 3} e B{ – 1, 0, 3, 8}, com lei de formação f(x) = x² – 1, podemos afirmar que:

A) a função é inversível, pois ela é bijetora.

B) a função não é inversível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

C) a função não é inversível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.

D) a função não é inversível, pois ela é bijetora.

Questão 7

Sabendo que a função f: A → B, com lei de formação f(x) = x3 + 2, é inversível, então a lei de formação da função inversa é:

Questão 8

(UEL) Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2x, então a expressão que define a função inversa de f é:

Questão 9

Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4, o valor de f( f –1 (2)) é:

A) – 2

B) – 1

C) 0

D) 1

E) 2

Questão 10

Dada a função f: A → B, em que A= {-1, 0, 1} e B= {0, 1}, com lei de formação f(x)= x², podemos afirmar que:

I → a função é injetora;

II → a função é sobrejetora;

III → a função é bijetora.

É(são) verdadeira(s):

A) somente as afirmativas I e II.

B) somente a afirmativa I.

C) somente a afirmativa II.

D) nenhuma das afirmativas.

E) todas as afirmativas.

Questão 11

(FGV) Considere a função real f definida por:

e sua inversa f- – 1. Se f –1 (2) = 5, o valor de m é:

A) – 3.

B) – 5.

C) – 7.

D) – 9.

E) – 11.

Questão 12

(UERN) Considerando as funções f(x) 3x – 2 e g(x) – 2x + 1, o valor de k, tal que f(g(k)) – 1 = 1, é:

A) 3.

B) 2.

C) – 1.

D) – 5.

Resposta - Questão 1

Alternativa D.

Primeiro encontraremos a lei de formação da função inversa de f. Para isso, trocaremos x por y e f(x) por x na lei de formação:

Agora calcularemos o valor numérico para a função quando x = 7:

Resposta - Questão 2

Alternativa C.

Dada a função f(x) = 5x – 10, para encontrar a sua inversa, vamos substituir x por y e f(x) por x. Então, temos que:

x = 5y – 10

Isolando o y:

Resposta - Questão 3

Alternativa D.

Dado o ponto do tipo (b,a), se ele pertence à função inversa de f(x), então o ponto (a,b) pertence à função f(x).

Para verificar à qual ponto pertence a inversa, basta calcular o valor numérico invertendo os valores do par ordenado.

A ( 1, – 3) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (– 3,1) pertencerá à f(x). Verificando, temos que:

f (x) = 2x – 5

x = – 3 e y = 1

f( – 3) = 2 · (– 3) – 5

f( – 3) = – 6 – 5 = – 11

Note que o resultado tinha que ser 1, logo o ponto A não pertence à função inversa.

B (4,5) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (5,4) pertencerá à f(x):

f(5) = 2 · 5 – 5

f(5) = 10 – 5 = 5

Note que o resultado tinha que dar 4, logo o ponto não pertence à inversa de f.

C (2,1) → (1,2) pertence à f(x):

f(1) = 2 · 1 – 5

f(1) = 2 – 5

f(1) = – 3

O ponto C não pertence à função inversa, pois o resultado tinha que ser 2.

D (1,3) → (3,1) pertence à f(x):

f(3) = 2 · 3 – 5

f(3) = 6 – 5

f(3) = 1

Nesse caso, o ponto (3,1) pertence à f(x), logo o ponto D(1,3) pertence à inversa de f(x).

Resposta - Questão 4

Se a função f- – 1(x) passa pelos pontos (2,5) e (3,0), a função f-(x) passa pelos pontos (5,2) e (0,3). Com isso, podemos encontrar a lei de formação da função.

Sabemos que y = ax + b e usando o segundo ponto (0,3), temos que x = 0 e y = 3.

3 = 0 · x + b

3 = b

b = 3

Então:

y = ax + 3

Conhecendo o valor de b, é possível encontrar o valor de a usando o ponto (5,2):

Logo, a lei de formação da função é:

Agora encontraremos o zero dessa função:

Resposta - Questão 5

Alternativa A.

Para encontrar a função inversa, trocaremos f(x) por x e x por y na lei de formação:

Por fim, basta trocar y por f – 1 (x):

f-1(x) = 2x – 2 – 3

Resposta - Questão 6

Alternativa A.

Verificaremos se a função é injetora e sobrejetora.

A sua lei de formação é f(x) = x² – 1. Primeiro verificaremos se ela é injetora. Para isso, calcularemos o valor numérico da função para os valores do domínio A.

f(0) = 0² – 1 = – 1

f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0

f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 3² – 1 = 9 – 1 = 8

Note que elementos distintos possuem imagem distinta, logo a função é injetora.

Agora vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto B. Note que isso também acontece, pois todo elemento do contradomínio B é imagem de um elemento no conjunto A, então a função é bijetora, logo ela é inversível.

Resposta - Questão 7

Alternativa D.

Trocando f(x) por x e x por y, temos que:

x = y3 + 2

Isolando o y:

Resposta - Questão 8

Alternativa C.

A lei de formação é:

y = 2x

Trocando x por y:

x = 2y

Aplicando logaritmo dos dois lados: