Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com as mesmas características. Esses agrupamentos possuem notação própria, utilizando-se letras maiúsculas para dar nome a eles, e representação específica, em geral por meio de círculos, formando-se o que se conhece como diagrama de Venn, ou listando-se os elementos dos conjuntos. Show Leia também: Teoria dos conjuntos: o que estuda e para que serve? Notação e representação de um conjuntoQuando estudamos conjunto, devemos inicialmente compreender o modo como representamos e denotamos alguns elementos. Em geral, utiliza-se letras maiúsculas para nomear um conjunto. Podemos representar um mesmo conjunto de diferentes modos. Veja: Representação do conjunto dos números pares menores que 10. Os elementos do conjunto A são os números pares menores que 10. Na representação gráfica, os elementos devem ficar no interior do círculo, essa representação é conhecida por diagrama de Venn-Euler. Podemos representar também o conjunto fazendo uma lista de seus elementos: A = {0, 2, 4, 6, 8} Ao representarmos um conjunto na forma de lista, devemos separar os elementos por vírgula ou ponto e vírgula. Podemos representar o conjunto dos pares menores que 10 também assim: A = { p | p é par menor que 10} O qual lemos da seguinte forma: “p tal que p é par menor que 10”. A relação de pertinência mostra se um elemento está dentro ou não de um conjunto, ou seja, se ele pertence ou não pertence a um conjunto. Vamos utilizar os seguintes símbolos para a relação de pertinência. Assim, para afirmar se um elemento está ou não no conjunto, devemos utilizar a notação anterior. Veja: Considere o conjunto B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}. Observe que o elemento 5 está dentro do conjunto B e que o elemento 0, por exemplo, não está, assim: Relação de inclusãoA relação de inclusão mostra-nos se um conjunto está contido ou não dentro de outro. Na relação de inclusão, utilizamos os seguintes símbolos: Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 3} C = {5, 6, 7} Observe que o conjunto B está por completo dentro do conjunto A, portanto, o conjunto B está contido no conjunto A. A ⸦ B Por outro lado, o conjunto C não está por completo no conjunto A, logo, o conjunto C não está contido no conjunto A. Para que o conjunto A esteja contido no conjunto B, todos os elementos de A devem estar no conjunto B. Veja mais: Conjuntos e seus elementos: relações e representações SubconjuntosA ideia de subconjunto está ligada à relação de inclusão, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A forem elementos de B, ou seja, se A⸦ B, então A é subconjunto de B. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={a, b, c, d, e, f, g, h}. Observe que todos os elementos de A são elementos de B, portanto, A é subconjunto de B, isto é: A ⸦ B. O contrário já não é verdade, pois nem todo elemento de B é elemento de A, portanto, B não é subconjunto de A. Conjunto unitárioUm conjunto é dito unitário se ele possuir um único elemento. Veja o exemplo: O conjunto A é unitário. A = {7} Conjunto universoO conjunto universo é o que contém todos os outros conjuntos. Por exemplo, considere os conjuntos A = {– 1, – 2, 1, 2}, B ={0, 1, 2, 3} e C = {1, –1, 2, –2}, veja que todos eles são compostos por números inteiros, ou seja: Portanto, o conjunto dos números inteiros é o conjunto universo. Conjunto complementarConsidere dois conjuntos A e B de forma que A ⸦ B. O conjunto complementar é formado pela diferença B – A, ou seja, tomamos os elementos de B e retiramos os elementos de A contidos em B. Esse conjunto é chamado complementar de B em relação a A. Conjuntos das partesO conjunto das partes de A é formado por todos os possíveis subconjuntos dos elementos do conjunto A. Veja o exemplo: Determine o conjunto das partes do conjunto A = {1, 2, 3} O conjunto das partes é denotado por P (A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {}}. Para determinar o número de elementos do conjunto das partes de A, basta resolver a potência 2n, em que n é o número de elementos do conjunto A. Do exemplo 6, temos que o número de elementos de A é 3, logo, o número de elementos do conjunto das partes de A será: 23 2 · 2 · 2 8 Observação: O conjunto vazio {} está contido em todo conjunto. Igualdade de conjuntosDois conjuntos serão iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos elementos em qualquer que seja a ordem. Desse modo, os conjuntos a seguir são iguais: A = {0, 1, 3, 4, 5, 6} B = {6, 5, 4, 3, 2, 1} C = {6, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 6, 2, 1} Acesse também: Noções importantes para o estudo da teoria dos conjuntos Operações com conjuntosConsidere dois conjuntos A e B, a união entre eles será um novo conjunto formado por elementos de A ou elementos de B. Representamos a união com o símbolo U, então A U B é a união entre os conjuntos A e B. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}. Para determinar o conjunto união, basta escrever o conjunto formado por elementos que estão em ambos conjuntos, assim: A U B = {a, b, c, d, e, f, g} A interseção de conjuntos é formada por elementos que estão simultaneamente nos conjuntos envolvidos. Assim, considerando dois conjuntos A e B, a interseção é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Denotamos a interseção por ∩. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}. Para determinar a intersecção entre os dois conjuntos, devemos encontrar os elementos que pertencem a eles. A ∩ B = {c, d, e}  Exercícios resolvidosQuestão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A). Resolução Vamos determinar os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizar a união entre eles. A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i} A – B = {a, b, c} B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f} B – A = {g, h, i} Desse modo, (A – B) U (B – A) é: {a, b, c} U {g, h, i} {a, b, c, g, h, i} Questão 2 – Determine o valor de x para que os conjuntos A = {1, 1, 2, 3} e B = {1, x, 3} sejam iguais. Resolução Vimos que dois conjuntos são iguais se todos os seus elementos forem iguais independentemente da ordem. Observando os conjuntos A e B, veja que o único elemento que falta no conjunto B para que A = B é o número 2, uma vez que elementos repetidos podem ser considerados como um só. Portanto: x = 2 Questão 3 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B= {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine os conjuntos: a) B – A b) A – C c) A – B Resolução a) Para determinar o conjunto B – A, devemos considerar os elementos do conjunto B e retirar os elementos de A que pertencem ao conjunto B. B – A = {e, f, g} b) De maneira análoga, devemos considerar os elementos do conjunto A e retirar os elementos do conjunto C. A – C = {a, c} c) Da mesma maneira, determinamos o conjunto A – B. A – B = {a, b} Observe que A – B é diferente de B – A. a) A u B Devemos realizar a união dos conjuntos A e B. Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A u B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6} b) A n B Vamos realizar a intersecção do conjunto A com o conjunto B. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A n B = {2, 3} c) A – B Nessa questão devemos verificar os elementos do conjunto A que não são elementos do conjunto B. Para A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A – B = {4, 5, 6} d) B – A Teremos que averiguar a diferença entre B e A (conjunto formado pelos elementos do conjunto B que não pertencem ao conjunto A). O conjunto diferença é representado por B – A. A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então B – A = {-1, 0}
Na Matemática, os conjuntos representam a reunião de diversos objetos e as operações realizadas com os conjuntos são: união, intersecção e diferença. Aproveite as 10 questões a seguir para testar seus conhecimentos. Utilize as resoluções comentadas para tirar as suas dúvidas. Questão 1Considere os conjuntos A = {1, 4, 7} É correto afirmar que: a) A b) A B c) B A d) B A
Alternativa correta: b) A B. a) ERRADA. Há elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Portanto, não podemos dizer que A contém B. A afirmação correta seria B A. b) CORRETA. Observe que todos os elementos de A também são elementos de B. Portanto, podemos dizer que A está contido em B, A é parte de B ou que A é um subconjunto de B. c) ERRADA. Não há nenhum elemento de A que não pertence ao conjunto B. Portanto, não podemos dizer que B não contém A. d) ERRADA. Como A é um subconjunto de B, então a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A: B A = A Questão 2Observe os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta. A = {x|x é um múltiplo positivo de 4} a) 145 A
Alternativa correta: d) 12 A e B Os conjuntos da questão estão representados por suas leis de formação. Sendo assim, o conjunto A é formado por múltiplos positivos de 4, ou seja, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} e o conjunto B reúne os números pares maior ou igual a 4 e menor que 16. Portanto, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}. Analisando as alternativas, temos: a) ERRADA. 145 é um número terminado em 5 e, portanto, é múltiplo de 5. b) ERRADA. 26, apesar de ser um número par, é maior que 16 e, por isso, não faz parte do conjunto B. c) ERRADA. 11 não é um número par, mas sim um número primo, ou seja, só é divisível por 1 e ele mesmo. d) CORRETA. 12 pertence aos conjuntos A e B, pois é um múltiplo de 4 e é um número par maior que 4 e menor que 16. Questão 3Qual a possível lei de formação do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}? a) A = {x|x é um número simétrico e 2 b) A = {x|x é um número primo e 1 c) A = {x|x é um número ímpar positivo e 1 d) A = {x|x é um número natural menor que 10}
Alternativa correta: b) A = {x|x é um número primo e 1 a) ERRADA. Números simétricos, também chamados de opostos, apresentam-se à mesma distância na reta numérica. Por exemplo, 2 e - 2 são simétricos. b) CORRETA. O conjunto apresentado é dos números primos, sendo o 2 o menor número primo existente e também o único que é par. c) ERRADA. Embora a maioria dos números seja ímpar existe o número 2 no conjunto, que é par. d) ERRADA. Embora todos os números sejam naturais, o conjunto contém o número 11, que é maior que 10. Questão 4A união dos conjuntos A = {x|x é um número primo e 1 a) A B = {1,2,3,5,7}
Alternativa correta: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7} Para o conjunto A = {x|x é um número primo e 1 A = {2, 3, 5, 7} a) ERRADA. A não contém B, pois o elemento 1 não faz parte de A. b) ERRADA. A não está contido em B, pois o elemento 2 não faz parte de B. c) ERRADA. A não pertence a B, pois os conjuntos apresentam um elemento distinto. d) CORRETA. A união de conjuntos corresponde à junção dos elementos que os compõem e é representada pelo símbolo . Portanto, a união de A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} é A U B = {1, 2, 3, 5, 7}. Represente os conjuntos A = {- 3, - 1, 0, 1, 6, 7} , B = {- 4, 1, 3, 5, 6, 7} e C = {- 5, - 3, 1, 2, 3, 5} no diagrama de Venn e em seguida determine: a) A B d) B (A C)
Resposta correta: a) {1, 6, 7}; b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}; c) {-5, 2, 3, 5} e d) {1, 3, 5, 6, 7}. Distribuindo os elementos dos conjuntos no diagrama de Venn, temos: Ao realizar as operações com os conjuntos dados, temos os seguintes resultados: a) A B = {1, 6, 7} b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7} c) C – A = {-5, 2, 3, 5} d) B (A C) = {1, 3, 5, 6, 7} Questão 6Observe a área hachurada da figura e marque a alternativa que a representa. a) C (A B)
Resposta correta: b) C – (A B) Observe que a área hachurada representa os elementos que não pertencem aos conjuntos A e B. Portanto, trata-se de uma diferença entre conjuntos, que indicamos por (–). Como os conjuntos A e B apresentam a mesma cor, podemos dizer que há a representação da união dos conjuntos, ou seja, a junção dos elementos de A e B, representada por A B. Portanto, podemos dizer que a área hachurada é a diferença de C da união de A e B, ou seja, C – (A B). Questão 7Em um cursinho pré-vestibular existem 600 alunos matriculados em matérias isoladas. 300 alunos cursam Matemática, 200 alunos frequentam as aulas de Português e 150 alunos não cursam essas disciplinas. Considerando os alunos matriculados no cursinho (T), alunos cursando matemática (M) e alunos que cursam português (P), determine: a) o número de alunos de Matemática ou Português
Resposta correta: a) n (M P) = 450 a) o número de alunos pedidos engloba tanto os alunos de Matemática quanto os alunos de Português. Por isso, temos que encontrar a união dos dois conjuntos. O resultado pode ser calculado subtraindo o número total de alunos da escola pelo número de alunos que não cursa essas disciplinas. n(M P) = n(T) - 150 = 600 - 150 = 450 b) como o resultado pedido é de alunos que cursa Matemática e Português, temos que encontrar a intersecção dos conjuntos, ou seja, os elementos comuns aos dois conjuntos. Podemos calcular a intersecção dos dois conjuntos somando o número de alunos matriculados nas matérias de Português e Matemática e depois subtraindo o número de alunos que estuda essas duas disciplinas ao mesmo tempo. n(M P) = n(M) + n(P) - n(M P) = 300 + 200 - 450 = 50 Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ), Irracionais (I), Reais (ℝ) e Complexos (ℂ). Sobre os conjuntos citados marque a definição que corresponde a cada um deles.
Resposta correta: 3, 5, 4, 1, 6, 2. (3) Os números racionais abrangem todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros. Este conjunto inclui as divisões não exatas. ℚ = {x = a/b, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0} (5) Os números reais correspondem a união dos racionais com os irracionais, ou seja ℝ = ℚ ∪ I. (4) Os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. Os números deste grupo resultam das operações, cujo resultado não podiam ser escritos na forma de fração. Por exemplo a √ 2. (1) Os números naturais são formados pelos números que usamos nas contagens ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}. (6) Os números complexos incluem as raízes do tipo √-n e, por isso, é uma extensão dos números reais. (2) Os números inteiros reúnem todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Para ser possível resolver toda subtração, como por exemplo 7 - 10, foi estendido o conjunto dos naturais, surgindo então, o conjunto dos inteiros. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...} Questão 9(UNB-Adaptada) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados:
Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de Motovelocidade? a) 32 b) 44 c) 56 d) 28
Resposta correta: b) 44. 1º passo: determinar o número total de pessoas que assistem às corridas Para isso, precisamos apenas subtrair o número total de entrevistados dos que declararam não assistir os campeonatos de corrida. 200 - 55 = 145 pessoas 2º passo: calcular o número de pessoas que assistem apenas às corridas de Motovelocidade 74 + 27 + (x – 27) = 145 x + 74 = 145 x = 145 - 74 x = 71 Subtraindo o valor de x da interseção dos dois conjuntos, encontramos o número de entrevistados que assistem apenas às corridas de motovelocidade. 71 - 27 = 44 (UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programação, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3000 pessoas, perguntou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis.
Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadores. b) 370 telespectadores. c) 450 telespectadores. d) 470 telespectadores. e) 500 telespectadores.
Resposta correta: c) 450 telespectadores. Existem 450 telespectadores que não acham agradável nenhuma das três novelas. Questão 11(FATEC 2019) Entre as pessoas que compareceram à festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração. Considere: F: conjunto de pessoas que foram à festa de inauguração. E: conjunto dos amigos de Eduardo. M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo. Com base nessas informações assinale a alternativa que contém o diagrama de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos.
Resposta correta: É preciso verificar que o conjunto M (melhores amigos), é um subconjunto do conjunto E (amigos), ou seja, M está contido em E.
Com isto as alternativas A, B e D estão eliminadas. Sobram a C e a E. Perceba que na alternativa C, o conjunto M (melhores amigos) está totalmente contido em E (total de pessoas na festa). No entanto, o enunciado diz que nem todos os melhores amigos foram a festa. Isto significa que haverá uma intersecção, não uma inclusão. Deste modo, a alternativa correta é a E. Questão 12(Uff) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam: A região hachurada pode ser representada por: a) b) c) d) e)
Resposta correta: b) Devemos focar a atenção primeiramente ao conjunto M e telo hachurado. De toda esta área "pintada" inicialmente, alguma parte foi retirada após a sobreposição dos três conjuntos, o que evidencia que houve uma subtração (diferença). A área retirada foi a do conjunto N mais a área do conjunto P , ou seja, N U P (união). Por fim, temos:
Exercício 13(FGV) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) n.d.a
Resposta correta: b) 162. Neste tipo de problema utilizamos diagramas de Venn, começando a preenchê-lo a partir da maior intersecção que no caso é a igual a 8, que estudam nas três faculdades. O próximo passo é preencher as intersecções secundárias. Como 32 estudam Biologia e Física e, na área de intersecção entre estas faculdades já temos 8, restam 32 - 8 = 24. Seguindo este raciocínio, para química e biologia temos 16 - 8 = 8 e para Física e Química temos 23 - 8 = 15. Em seguida, preenchemos as áreas individuais. Física: 80 - (15 + 8 + 24) = 33 Química: 55 - (15 + 8 + 8) = 24 Biologia: 90 - (24 + 8 + 8) = 50 Por fim, para calcular o total de alunos nas três faculdades, somamos todos os números: 33 + 15 + 24 + 24 + 8 + 8 + 50 = 162. Desse modo, 162 alunos estudam na universidade, que é formada pelas três faculdades. Saiba mais consultando os textos a seguir: |
Considere os intervalos A 1 4 eb 0 5 e marque a opção que corresponde a união dos conjuntos ae B
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