Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

Experimento aleatório e ponto amostral

Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios:

a) Cara ou coroa

Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.

b) Lançamento de um dado

Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.

Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.

c) Retirar uma carta aleatória de um baralho

Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.

Espaço amostral

O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:

a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.

b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.

O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).

Evento

Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.

São exemplos de eventos:

a) Sair cara em um lançamento de uma moeda

O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:

E = {cara}

O seu número de elementos é n(E) = 1.

b) Sair um número par no lançamento de um dado.

O evento é sair um número par:

E = {2, 4, 6}

O seu número de elementos é n(E) = 3.

Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.

Cálculo da probabilidade

Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

Observações:

• O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;

• Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;

• A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:

P(A-1) = 1 – P(A)

Exemplos:

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?

Solução:

Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 1
          2

P(E) = 0,5 = 50%

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?

Solução:

Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:

(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)

O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:

(C, C); (K, K)

Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          4

P(E) = 0,5 = 50%

→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?

Solução:

Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          6

P(E) = 0,33... = 33,3%

→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?

Solução:

Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.

A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:

P(A-1) = 1 – P(E)

O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:

P(A-1) = 1 – P(E)

P(A-1) = 1 – n(E)
                  n(Ω)

P(A-1) = 1 – 1
                  6

P(A-1) = 1 – 0,166..

P(A-1) = 0,8333… = 83,3%

A probabilidade consiste num ramo da Matemática que estuda as possibilidades de um fenômeno ocorrer. Possui aplicações em algumas áreas do conhecimento humano, como Genética, Finanças, Marketing, Economia. Os experimentos aleatórios constituem situações onde os acontecimentos possuem variabilidade de ocorrência, isto é, o mesmo experimento pode ter vários resultados diferentes, por exemplo, no lançamento de um dado podemos obter seis resultados aleatórios. No sorteio de um número entre 1 e 100, não teremos a certeza de qual número será sorteado, podemos ter várias ocorrências de resultados. Essas variações de resultados dentro de uma mesma situação são características dos experimentos aleatórios. Diretamente ligado aos experimentos aleatórios temos o espaço amostral, que consiste nos possíveis resultados do experimento. No caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, no lançamento de uma moeda podemos ter os seguintes espaços amostrais: cara, coroa. É com base no espaço amostral que conseguimos calcular as probabilidades de um fenômeno. Em alguns experimentos podemos notar a existência de um ou mais espaços amostrais possíveis, por exemplo, ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, podemos trabalhar as seguintes possibilidades: o valor da carta no baralho, os naipes (ouro, espadas, copas ou paus) e vermelha ou preta. Percebemos que os fenômenos aleatórios ocorrem ao acaso, pois, repetidos várias vezes, apresentam resultados inesperados.

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Lista de Exercícios - GABARITO Exercício 01 Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: (a) Lançamento de dois dados; anota-se a configuração obtida; {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} (6 2 = 36 elementos)., (b) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora; { 0, 1, 2,... }. (c) Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo; { MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF }, (2 3 = 8 elementos), onde M : sexo masculino e F : sexo feminino. (d) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem; = {t: t 0}, (infinitos elementos), onde t: tempo de duração de lâmpadas, deixando acesas até que se queimem. (e) Lança-se uma moeda até aparecer cara e anota-se o número de lançamentos; = 1, 2, 3,..., (infinitos elementos) (f) De cada família entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe social a que pertence (A, B,, D) e o estado civil do chefe da família. = (A,S), (B,S), (,S), (D,S), (A,), (B,), (,), (D,), (4 x 2 = 8 elementos), onde S: solteiro, : casado. Obs. O espaço amostral depende do que foi considerado no estado civil do chefe de família. Página 1 de 8

Exercício 02 Numa certa população, a probabilidade de gostar de teatro é 1/3 enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos: onsideram-se os seguintes eventos: T: gostar de teatro; : gostar de cinema. Assim, a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema seria P (T ). Temos: probabilidade de gostar de teatro : T) = 1/3 e probabilidade de gostar de cinema : ) = 1/2. (a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos; Se T e são eventos disjuntos, então T =. Logo, T = T, como mostra o diagrama abaixo: T Então P (T ) = T) = 1/3 = 0,333. Página 2 de 8

(b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes; Temos que se T e são eventos independentes, então P (T ) = T)). T Logo, P (T ) = T) - P (T ) = (1/3) - (1/3)(1/2) = 1/3-1/6 = 1/6 = 0,167. (c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema; Nesse caso temos que T, logo, T =, ou seja, T Então T )= 0. (d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é 1/8; É dado que P (T ) = 1/8, e como temos que T) = P (T ) + P (T ), logo P (T ) = T) - P (T ) = 1/3-1/8 = 5/24 = 0,208. Página 3 de 8

(e) Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de teatro é 3/4. É dado que P (T ) = 3/4, e como temos que P (T ) + P (T ) = 1, logo, P (T ) = 1 - P (T ) = 1 3/4 = 1/4. E como, finalmente temos que T ) T ) ) T ), 1 ) P (T ) = P (T )(1 - P ()) = (1/4)(1-1/2) = (1/4)(1/2) = 1/8 = 0,125. Exercício 03 Informações de 740 alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e Opinião sobre a reforma Agrária foram obtidas. Dos 740 alunos, 260 são do sexo feminino, 350 são a favor e 130 não tem opinião sobre a reforma agrária. Temos que entre os alunos do sexo masculino 230 estudam no período noturno, para o sexo feminino apenas 140. Tanto no período noturno como no diurno, 80 mulheres são a favor da reforma e apenas 20 não tem opinião. Entre os alunos do sexo masculino, no período noturno 120 são contrários e apenas 10 não tem opinião. Determine a probabilidade de escolhermos ao acaso: Período Sexo Reforma Agrária ontra A Favor Sem opinião Total Diurno Feminino 20 80 20 120 Masculino 80 90 80 250 Noturno Feminino 40 80 20 140 Masculino 120 100 10 230 Total 260 350 130 740 (a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? (0,5 pontos) Existem 90 alunos do sexo masculino sem opinião formada sobre a reforma agrária, sendo que 80 são do período diurno e 10 do período noturno. omo foram entrevistados um total de 740 alunos, então a probabilidade desejada é: 90 ~ 0,122. 740 Página 4 de 8

(b) Uma mulher contrária à reforma agrária? Existem 60 pessoas do sexo feminino que são contrárias à reforma agrária, sendo 20 do período diurno e 40 do período noturno. Portanto a probabilidade desejada é: 60 ~ 0,081. 740 (c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária? (0,5 pontos) Entre os alunos do período noturno, temos 80 do sexo feminino e 100 do sexo masculino que são a favor da reforma agrária. omo o total de alunos do período noturno é de 370, então a probabilidade desejada é: 180 ~ 0,487. 370 (d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que é do sexo feminino? (0,5 pontos) Existem um total de 260 alunos do sexo feminino. Destas, existem 40 (20 do período diurno e 20 do noturno) que não possuem opinião formada sobre a reforma agrária. Portanto, a probabilidade desejada é: 40 ~ 0,154. 260 Exercício 04 Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne. onsidere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses são homens. Para um freguês sorteado ao acaso desse restaurante, obtenha a probabilidade de: onsideram-se os seguintes eventos: H: freguês é homem A: freguês prefere salada M: freguês é mulher B: freguês prefere carne. Temos pelo enunciado: H) = 0,75, P (A/H) = 0,20 e B/M) = 0,30. Página 5 de 8

om isso, podemos construir o seguinte diagrama de árvore: 0,75 H 0,20 0,80 A B 0,25 M 0,70 0,30 A B (a) preferir salada; Temos que calcular A). Utilizando o diagrama de árvore, temos que A) = A H) + A M) = A / H) H) + A /M) M) = (0,20*0,75 ) + (0,70*0,25) = 0,325 (b) preferir carne dado que é um homem; Temos que calcular B/H). Pelo diagrama de árvore, temos que B/H) = 0,80 (c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada? Temos que calcular M / A). Mas, sabemos que M)A / M) M / A). A / H)H) A / M)M) Logo, utilizando o item (a) e o diagrama de árvore, temos que M 0,25*0,70 / A) 0,538. 0,20*0,75 0,25*0,70 Página 6 de 8

Exercício 05 Em uma universidade, 2000 estudantes de um curso de estatística, em determinado ano, foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de: Musculação Futebol 159 9 233 3 39 15 128 Natação Estudantes do curso de estatística (a) praticar somente musculação; Pelo diagrama apresentado temos que a 159 praticar somente musculação) 0, 0795 2000 Logo, se um desses estudantes é sorteado ao acaso, a probabilidade de praticar somente musculação é 0,0795. (b) praticar pelo menos um destes esportes; Pelo diagrama apresentado temos que a 159 39 3 9 233 15 128 586 praticar pelo menos um destes esportes) 0, 293 2000 2000 Logo, se um desses estudantes é sorteado ao acaso, a probabilidade de praticar pelo menos um destes esportes é 0,293. Página 7 de 8

(c) praticar pelo menos dois destes esportes; Pelo diagrama apresentado temos que a 39 3 9 15 66 praticar pelo menos dois destes esportes) 0, 033 2000 2000 Logo, se um desses estudantes é sorteado ao acaso, a probabilidade de praticar pelo menos dois destes esportes é 0,033. (d) não praticar nenhum destes esportes. Temos que não praticar nenhum destes esportes) = 1- praticar pelo menos um destes esportes) Assim, pelo item (b) temos que não praticar nenhum destes esportes) = 1-0,293 = 0,707 Logo, se um desses estudantes é sorteado ao acaso, a probabilidade de não praticar nenhum destes esportes é 0,707. Página 8 de 8