Dois nadadores profissionais resolveram fazer uma aposta que consiste em ver quem atinge primeiro

método para resolução e aplique esse método. Para finalizar, verifique se o resultado faz sentido. Caso seja necessário, consulte os valores de seno, cosseno e tangente fornecidos no início das atividades previstas para essa aula. 2. (SARESP – 2012) Um jovem avista o topo de uma torre segundo um ângulo de 45º, conforme a ilustração. Sabe-se que a distância dos seus olhos ao topo da torre é 150 m e, ainda, que a distância dos seus olhos ao solo é 1,50 m. A altura h aproximada da torre é: Considere: . a. 77 m. b. 100 m. c. 107 m. d. 150 m. e. 157 m. 150 m 1,50 m h 45º MATEMÁTICA | 7 3. (AAP – 2016) Se a base de um triângulo retângulo mede 12 cm e o ângulo agudo da base tem 37°, quanto mede sua hipotenusa? a. 7,2 cm b. 9,6 cm c. 15 cm d. 16 cm e. 20 cm 4. (AAP - 2016) Para encontrar o comprimento de uma ponte que seria construída sobre um rio, um engenheiro colocou-se em uma das margens e marcou sobre o solo um ponto de onde avistava uma árvore na outra margem, de forma que a linha de visada ficou perpendicular à margem. Em seguida, caminhou 20 metros pela margem do rio, até parar em outro ponto, onde a linha de visada para a mesma árvore era agora de 30°, conforme se vê na figura a seguir. Qual será, aproximadamente, o comprimento da ponte? a. 12 m b. 21 m c. 23 m d. 34 m e. 40 m hipotenusa 12 cm 37º Fu tu ra p o nt e 30º 20 m 106 | MATEMÁTICA 6 | MATEMÁTICA b. Represente o contexto por meio de uma figura. c. Observe a figura que você fez e os dados percebidos no enunciado. Elabore e execute uma estratégia para solucionar o problema. Para resolver as próximas atividades, executar procedimentos semelhantes aos que foram realizados na atividade 1 é uma ótima ideia. Então, a proposta é que você leia cada problema com atenção para entendê-los, identifique os dados fornecidos, represente o contexto por meio de uma figura, planeje um método para resolução e aplique esse método. Para finalizar, verifique se o resultado faz sentido. Caso seja necessário, consulte os valores de seno, cosseno e tangente fornecidos no início das atividades previstas para essa aula. 2. (SARESP – 2012) Um jovem avista o topo de uma torre segundo um ângulo de 45º, conforme a ilustração. Sabe-se que a distância dos seus olhos ao topo da torre é 150 m e, ainda, que a distância dos seus olhos ao solo é 1,50 m. A altura h aproximada da torre é: Considere: . a. 77 m. b. 100 m. c. 107 m. d. 150 m. e. 157 m. 150 m 1,50 m h 45º MATEMÁTICA | 7 3. (AAP – 2016) Se a base de um triângulo retângulo mede 12 cm e o ângulo agudo da base tem 37°, quanto mede sua hipotenusa? a. 7,2 cm b. 9,6 cm c. 15 cm d. 16 cm e. 20 cm 4. (AAP - 2016) Para encontrar o comprimento de uma ponte que seria construída sobre um rio, um engenheiro colocou-se em uma das margens e marcou sobre o solo um ponto de onde avistava uma árvore na outra margem, de forma que a linha de visada ficou perpendicular à margem. Em seguida, caminhou 20 metros pela margem do rio, até parar em outro ponto, onde a linha de visada para a mesma árvore era agora de 30°, conforme se vê na figura a seguir. Qual será, aproximadamente, o comprimento da ponte? a. 12 m b. 21 m c. 23 m d. 34 m e. 40 m hipotenusa 12 cm 37º Fu tu ra p o nt e 30º 20 m MATEMÁTICA | 107 8 | MATEMÁTICA 5. (SARESP) Dois irmãos observam a torre reta TU em um terreno plano, conforme esquematizado na figura. Os seus ângulos de visão medem e , sendo tg =1/3 e tg =1/2. O irmão localizado no ponto P está 30 metros mais afastado do pé da torre do que o irmão localizado no ponto Q. P T Q U xx + 30 Desprezando as alturas dos irmãos, pode-se concluir que a altura da torre, em metros, é igual a: a. 60 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10 6. (SARESP) Um bombeiro sobe uma escada de 15 m de comprimento, que forma um ângulo de 60° com o solo. Usando 0,87 como valor aproximado de sen 60°, assinale a alternativa que mostra a altura aproximada que o bombeiro está do solo, quando chega ao topo escada. a. 10,23 m b. 12,14 m c. 13,05 m d. 14,55 m 60º altura 15 m MATEMÁTICA | 9 7. Dois nadadores profissionais resolveram fazer uma aposta que consiste em ver quem atinge primeiro o mesmo ponto no lado oposto de uma piscina, ambos saindo do mesmo lado e fazendo o trajeto uma única vez. O desafio é que o nadador A fará a travessia seguindo perpendicularmente, enquanto o atleta B seguirá a partir de um ângulo de 60°, como indicado na figura. Nessas condições, e imaginando que ambos nadam à mesma velocidade, qual dos dois deverá vencer o desafio? Justifique a sua resposta. 5 m 60º 108 | MATEMÁTICA 8 | MATEMÁTICA 5. (SARESP) Dois irmãos observam a torre reta TU em um terreno plano, conforme esquematizado na figura. Os seus ângulos de visão medem e , sendo tg =1/3 e tg =1/2. O irmão localizado no ponto P está 30 metros mais afastado do pé da torre do que o irmão localizado no ponto Q. P T Q U xx + 30 Desprezando as alturas dos irmãos, pode-se concluir que a altura da torre, em metros, é igual a: a. 60 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10 6. (SARESP) Um bombeiro sobe uma escada de 15 m de comprimento, que forma um ângulo de 60° com o solo. Usando 0,87 como valor aproximado de sen 60°, assinale a alternativa que mostra a altura aproximada que o bombeiro está do solo, quando chega ao topo escada. a. 10,23 m b. 12,14 m c. 13,05 m d. 14,55 m 60º altura 15 m MATEMÁTICA | 9 7. Dois nadadores profissionais resolveram fazer uma aposta que consiste em ver quem atinge primeiro o mesmo ponto no lado oposto de uma piscina, ambos saindo do mesmo lado e fazendo o trajeto uma única vez. O desafio é que o nadador A fará a travessia seguindo perpendicularmente, enquanto o atleta B seguirá a partir de um ângulo de 60°, como indicado na figura. Nessas condições, e imaginando que ambos nadam à mesma velocidade, qual dos dois deverá vencer o desafio? Justifique a sua resposta. 5 m 60º MATEMÁTICA | 109 10 | MATEMÁTICA AULAS 5 E 6 – PARA ALÉM DOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Objetivo das aulas: • Conhecer e aplicar a lei dos senos em situações-problemas de diferentes contextos. Triângulos quaisquer Até aqui, os problemas envolviam triângulos retângulos. Contudo, embora esse seja um triângulo muito usado em situações diversas, há contextos que são descritos por triângulos não retângulos. Para as próximas atividades, utilizaremos a lei dos senos e a lei dos cossenos para resolver situações com triângulos quaisquer. Se achar necessário, use calculadora. Lei dos senos Em todo triângulo, a medida de cada lado é proporcional ao seno do ângulo interno oposto. Csen c Bsen b sen a ˆˆ == a b c A B C Exemplo Para calcular o valor do lado a do seguinte triângulo, podemos usar a lei dos senos. a6 45º 30º b A Mais alguns valores aproximados para consulta sen cos 15° 0,26 0,97 28° 0,47 0,88 44° 0,69 0,72 57° 0,84 0,54 59° 0,86 0,51 64° 0,90 0,44 74° 0,96 0,28 105° 0,97 - 0,26 120° 0,87 - 0,5 MATEMÁTICA | 11 1. (ENEM - 2007) Para se calcular a distância entre duas árvores, representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A. As medidas necessárias foram tomadas, e os resultados obtidos foram os seguintes: AC = 70 m, e BÂC = 62º°. Sendo cos 28º = 0,88, sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70, podemos afirmar que a distância entre as árvores é: a. 48 metros b. 78 metros c. 85 metros d. 96 metros e. 102 metros 2. Neto e Caio são melhores amigos e moram na mesma rua. A distância entre as casas deles é de apenas 80 m. Tanto da casa de Neto, quanto da casa de Caio, é possível ver a casa de Breno, que fica em outra rua, numa parte mais alta do bairro. Da casa de Neto, o melhor ângulo para avistar a casa de Breno é de 45°, e da casa de Caio, é melhor vê-la a partir de um ângulo de 30°, como mostra a figura. Se a distância da