Estudo do sinal da funcao

Estudando o sinal de uma função quadrática

O que significa estudar o sinal de uma função?

Significa avaliar quando a função possui valores positivos ou negativos.

• Uma função possui valor positivo quando a coordenada y de seus pontos é positiva. Ou seja, quando seu gráfico está acima do eixo x.
• Uma função possui valor negativo quando a coordenada y de seus pontos é negativa. Ou seja, quando seu gráfico está abaixo do eixo x.

Aqui, nos preocuparemos em avaliar o sinal de uma função do segundo grau, do tipo f(x) = ax² + bx + c, cujo formato do gráfico é o de uma parábola. 

Para avaliar o valor de uma função, precisamos somente do esboço do seu gráfico, considerando suas raízes, o eixo x e o sinal do coeficiente a.

Observe os exemplos abaixo:

Exemplo 1: Estudo do sinal da função f(x) = 2x² - 6x - 8.

• Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).

2x² - 6x - 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.

• O coeficiente a da função é positivo (o a é igual a 2). Logo, a concavidade da parábola está para cima. 

Com essas informações, temos o seguinte esboço:

Estudo do sinal da função:

• f(x) > 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)
• f(x) < 0 quando x ∈ (-1; 4)

Exemplo 2: Estudo do sinal da função g(x) = -2x² + 6x + 8.

Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).

-2x² + 6x + 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.

O coeficiente a da função é negativo (o a é igual a -2). Logo, a concavidade da parábola está para baixo. 

Com essas informações, temos o seguinte esboço:

Estudo do sinal da função:

• f(x) > 0 quando x ∈ (-1; 4)
• f(x) < 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)

Problemas de máximos e mínimos

Toda parábola tem um ponto de máximo ou de mínimo. No exemplo da função f(x) = 2x² - 6x - 8, visto anteriormente, perceba que ela possui uma ponto de mínimo. Já no exemplo da função g(x) = -2x² + 6x + 8, a função tem um ponto de máximo.

O pontos de máximo e mínimo também são chamados de vértice da parábola, tendo coordenadas Xv e Yv. Observe um exemplo:

Existem fórmulas para determinarmos as coordenadas x e y do vértice. Sendo a função do tipo f(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice serão:

Onde ∆ = b² - 4ac.

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Estudar o sinal de qualquer função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

Considerando uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz

. Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y > 0  

    ax + b > 0    

    x >

y < 0  

   ax + b < 0    

    x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

y > 0 

ax + b > 0       

    x <

y < 0 

ax + b < 0   

    x >

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.

A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:

Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.

a > 0: Função crescente.

Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).

Note no gráfico que:

Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use o dispositivo prático, mostrado a seguir:

Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos (x>r e x<r).

a < 0: Função decrescente.

Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.

Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:

Analisando o gráfico, temos que:

Pelo dispositivo prático, temos:

Portanto, basta saber se a função é crescente ou decrescente, fato este determinado pelo sinal do coeficiente a, e depois determinar o zero da função. Com isso o estudo do sinal fica fácil.

Compreender esse estudo dos sinais é importante não apenas para as funções no geral, mas também para a determinação do conjunto solução das inequações.

Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é pelo gráfico, pois nos permite uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.

Observação: para construir o gráfico de uma função do 2º grau, precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.

Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara:

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

1º Exemplo:

∆ = 1

A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e ter duas raízes reais e distintas.

Análise do gráfico  x < 1 ou x > 2, y > 0  Valores entre 1 e 2, y < 0  x = 1 e x = 2, y = 0

2º Exemplo:

∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.

Análise do gráfico:  x = –4, y = 0  x ≠ –4, y > 0

3º Exemplo:

A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.

Análise do gráfico  A função será positiva para qualquer valor real de x.

4º Exemplo:

∆ = 49

A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.

Análise do gráfico:  x < –3 ou x > 1/2, y < 0  Valores entre – 3 e 1/2, y > 0  x = –3 e x = 1/2, y = 0

5º Exemplo:

∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.

Análise do gráfico:  x = 6, y = 0  x ≠ 6, y < 0

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola