Sabendo que A 1 2 3 4 5 6 b 5 6 7 8 ec 2 4 6 8 10 quais são os elementos do conjunto A ∩ b ∩ c

Esse tópico não tem uma forma exata de se resolver todas as questões. O que faremos é te dar algumas dicas que vão te ajudar na resolução das questões. Vamos lá?

Sequências lógicas de números

Assinale a alternativa que completa a seguinte série: 9, 16, 25, 36.

A) 45

B) 49

C) 61

D) 63

E) 72

A primeira dica que podemos te dar é: Sempre que aparecer os seguintes números: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc. pense em números ao quadrado.

• 2 ao quadrado: 4;
• 3 ao quadrado: 9;
• 4 ao quadrado: 16;
• e assim sucessivamente.

Ficou fácil agora né? A resposta é a letra B.

Sabendo que A = {1/4, 16/9, 25/36, 64/49, x}, o valor de x é:

A) 100/81

B) 25/56

C) 0

D) 81/100

E) 58/96

Usaremos a mesma dica da questão anterior. Estamos falando de números ao quadrado. Basta reparar no padrão.

Estamos seguindo na sequência dos números quadrados de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Porém fazendo zigue zague. 

Seria lógico assumir que teremos os números 81 e 100, os próximos da sequência na resposta. A resposta é a letra D.

Observando a sequência (2, 5, 11, 23, 47, 95, …) verifica-se que, do segundo termo em diante, cada número é obtido a partir do anterior, de acordo com certa regra. Nessas condições, o sétimo elemento dessa sequência é:

A) 197

B) 191

C) 189

D) 187

E) 185

Mais algumas dicas. A primeira coisa a se fazer nesses casos é verificar quantos números já temos na sequência e qual o número que a questão está pedindo.

Temos 6 números e a questão está pedindo o sétimo, ou seja, o próximo.

O próximo passo é verificar o que está mudando de um número para outro.

95 +?? = x

• Do 2 pro 5 estamos somando 3;
• Do 5 pro 11 estamos somando 6, ou 3+3;
• Do 11 pro 23 estamos somando 12, ou 6+6;
• Do 23 pro 47 estamos somando 24 ou 12+12;
• Do 47 pro 95 estamos somando 48 ou 24+24;
• Do 95 pro x, somaremos 48+48 = 96;
• 95+96 = 191;
• Alternativa B.

Considere que os termos da sucessão (2, 5, 10, 13, 26, 29, …) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se:

A) 197

B) 191

C) 189

D) 186

E) 185

Qual o primeiro passo? Exato, identificar quantos números a questão já nos deu e qual número ela está pedindo. Vamos lá, temos 6 números e precisamos do oitavo e do décimo.

Precisamos encontrar o X e o Y e somá-los. Mas primeiro precisamos identificar o padrão.

Dica: Se você puder usar, na hora de encontrar o padrão, operações de multiplicação e quadrado, use-as ao invés da soma! Repare que o padrão nessa questão está usando multiplicação por 2.

26 +3 = 29

Agora, basta continuarmos com o padrão, até chegarmos ao X e Y.

122 +3 = 125 (Y)

Agora, precisamos somar o X e o Y. Pois é isso que a questão está pedindo. 61 + 125 = 186. Alternativa D.

Considere que os termos da sequência 820, 824, 412, 416, 208, 212, 106, …) são obtidos sucessivamente segundo determinado padrão. Mantido essa padrão, obtêm-se o décimo e o décimo primeiro termos dessa sequência, cuja soma é um número compreendido entre:

A) 0 e 40

B) 40 e 80)

C) 80 e 120

D) 120 e 160

E) 160 e 200

Vamos do começo. Temos 7 números e precisamos do décimo e do décimo primeiro.

O próximo passo é identificar o padrão.

Opa, parece que temos uma divisão por 2. Vamos ver se isso se confirma nos próximos números.

Isso mesmo, o nosso padrão é somar 4 e dividir por 2. Agora basta seguir até o X e Y.

59 /2 = 29,5 (Y)

Somando X e Y. 59 + 29,5 = 88,5. Está entre 80 e 120. Alternativa C.

Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, …). O décimo termo dessa sequência é:

A) 1537

B) 1929

C) 1945

D) 2047

E) 2319

Temos 7 números e precisamos do décimo.

Vamos procurar qual o padrão.

15 +16 = 31

Parece bem óbvio que estamos somando múltiplos de 4 a cada número.

Seguindo:

1024 +1024 = 2047 (X)

Alternativa D.

Considere a sequência (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termos dessa sequência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a:

A) 12

B) 10

C) 9

D) 7

E) 5

Temos 7 números e precisamos do oitavo, o próximo da sequência. Vamos tentar identificar o padrão.

Opa! Parece que temos uma divisão por 2! Vamos ver se isso se confirma.

12 /3 = 4

Não se confirmou. Mas acho que encontramos nosso padrão. Soma 2, divide por dois. Soma 3, divide por 3. Seguimos.

2 +5 = 7.

Alternativa D.

Os termos da sequência (12, 15, 9, 18, 21, 15, 30, 33, 27, 54, 57, …) são sucessivamente obtidos através de uma lei de formação. Se x e y são, respectivamente o décimo terceiro e o décimo quarto termos dessa sequência, então:

A) X * Y = 1530

B) Y = X+3

C) X = Y+3

D) Y = 2x

E) X/Y = 33/34

Temos 11 números e precisamos do 13 e do 14.

Vamos tentar identificar o padrão.

15 +15 = 30

Parece que identificamos nosso padrão! E parece que estamos trabalhando com multiplicação. Soma 3, Subtrai 6, Multiplica por 2.

102 +3 = 105 (Y)

Agora, basta encontrarmos a alternativa correta. Vamos deixar a primeira por último porque vai dar muito trabalho.

Alternativa B!

O próximo termo da sequência numérica 3, 6, 12, 21, 36, 60, 99, … é:

A) 117

B) 128

C) 159

D) 162

E) 198

Temos 7 números e precisamos do oitavo. Vamos ver se identificamos um padrão.

60 +39 = 99

De cara é complicado ver qual o padrão dessa questão. Mas repare uma coisa:

• Na primeira somamos 3;
• Na segunda somamos 6, ou 3+3;
• Na terceira somamos 9, ou 6+3;
• Na quarta somamos 15 ou 9+6;
• Na quinta somamos 24, ou 15+9;
• Na sexta somamos 39, ou 24+15;

Estamos somando a soma das duas anteriores!

• Na próxima somaremos 24+39 = 63.
• 99+63 = 162
• Alternativa D.

O termos da sequência (8, 10, 8, 12, 10, 16, 14, 22, 20, 30, 28, …) obedecem a uma lei de formação. De acordo com essa lei, os três termos que devem imediatamente suceder o número 28 são, respectivamente

A) 26, 26 e 24

B) 24, 32 e 30

C) 34, 32 e 40

D) 32, 30 e 42

E) 40, 38 e 52

Temos 11 números e precisamos do número das posições 12, 13 e 14. Vamos chamá-los de x, y e z. Agora vamos ver o que está acontecendo

16 -2 = 14

Estamos somando, sendo que a cada soma, aumentamos o valor em 2. E em seguida estamos diminuindo 2. Seguindo:

A resposta é a alternativa E.

Na sequência de operações seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padrão.

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12.321

1.111 x 1.111 = 1.234.321

11.111 x 11.111 = 123.454.321

Assim sendo, é correto afirmar que, ao se efetuar 111.111.111 x 111.111.111, obtém-se um número cuja soma dos algarismos está compreendida entre:

A) 85 e 100

B) 70 e 85

C) 55 e 70

D) 40 e 55

E) 25 e 40

Bom, você pode resolver a multiplicação e ver qual o resultado. Mas iria demorar, ainda mais na prova, nervoso e sem calculadora.

Mas observe que temos um padrão! 11 x 11. São dois dígitos no numerador, e o resultado vai até o número 2 e retorna: 121.

111 x 111. São três dígitos no numerador. O resultado vai até o 3 e retorna: 12.321.

A questão nos pede 111.111.111 x 111.111.111. São 9 dígitos no numerador, logo, a resposta deverá ir até o 9 e retornar: 12.345.678.987.654.321. Agora basta somar tudo isso e teremos 81. A resposta é a alternativa B

Qual o próximo número da sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19.

A) 20

B) 200

C) 25

D) 201

Colocamos essa questão apenas pra te mostrar que as vezes a solução é bem mais simples do que parece, e para que você se lembre caso veja uma questão semelhante.

Perceba:

D) Duzentos e Um

Estamos falando de uma sequência onde todos os números começam com a letra D. Adicionalmente estamos em uma sequência crescente, logo 200. Alternativa B.

Sequências lógicas de figuras

Na sequência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será:

A) 101

B) 99

C) 97

D) 83

E) 81

Perceba que no enunciado a banca fala sobre o padrão dos quadrinhos pretos, mas ela quer como resposta o número de quadrinhos brancos na próxima figura.

Vamos tentar achar o padrão.

• Na primeira imagem temos 9 quadrinhos ao todo, sendo 4 pretos e 5 brancos.
• Na segunda imagem temos 25 quadrinhos ao todo, sendo 8 pretos e 17 brancos.
• Na terceira imagem temos 49 quadrinhos ao todo, sendo 12 pretos e 37 brancos.

Bom, estamos falando de números ao quadrado para encontrar o total de quadrinhos. Sendo que estamos pulando de 2 a 2: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121.

E estamos falando de um aumento de 4 a 4 para encontrar o número de quadrinhos pretos: 4, 8, 12, 16, 20.

Sabendo que a próxima figura terá 121 quadrinhos ao todo e 20 quadrinhos pretos, sabemos quantos serão brancos: 121-20 = 101. Alternativa A.

Sequências lógicas de letras

A dica para sequências de letras é que normalmente a banca as cobra como números. Isso mesmo. A letra A seria o número 1, a letra B seria o número 2, e assim sucessivamente.

Lembre-se também que, após a reforma ortográfica, o alfabeto oficial da língua portuguesa tem 26 letras. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. Sendo assim, se a banca não disser nada em contrário, use esse padrão!

Vamos às questões:

Complete a série: B D G L Q … (desconsiderar K, W e Y).

A) R

B) T

C) V

D) X

E) Z

Você pode ver essas letras como números: 2, 4, 7, 11, 16. E resolver da mesma forma que resolvemos nas questões que vimos anteriormente. Chegando ao resultado, transforme o número de volta em letra. Mas vou resolver de outra forma, para te mostrar.

O que você pode perceber é que temos um aumento crescente de letras entre as letras que o enunciado trouxe. Eu te mostro:

Dessa forma, me parece lógico que teremos, mais 5 letras e então teremos a nossa resposta. Cuide que a questão pediu para desconsiderar o K, W e Y!

A resposta é a alternativa D.

Considere que a sequência de pares de letras (A,C), (F,D), (G,I), (M,J), … obedece a uma lei de formação. Se o alfabeto oficial da língua portuguesa exclui as letras K, W e Y, o quinto par de letras da sequência é:

A) (P,N)

B) (N,P)

C) (O,Q)

D) (Q,O)

E) (R,P)

Bom, acho que de cara já podemos perceber que estamos invertendo as letras de um par para o outro.

O quinto par, deve estar na ordem normal, e portanto a resposta é (N,P), alternativa B.

Considerando que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y, observe a relação existente entre o primeiro e o segundo grupos de letras mostrados no esquema seguinte:

LMNL : PQRP :: GHIG : ?

Se a mesma relação deve existir entre o terceiro e o quarto grupo, que está faltando, o grupo de letras que substituiria corretamente o ponto de interrogação é

A) HIGH

B) JLMJ

C) LMNL

D) NOPN

E) QRSQ

Bom, o primeiro passo é identificar qual o padrão que existe entre o primeiro e o segundo grupo.

Se seguirmos o alfabeto oficial, lembre-se que a questão está pedindo pra excluir K,W e Y, temos o seguinte:

O que podemos concluir é que o padrão está seguindo o alfabeto, mas está substituindo a última letra do quarteto, por uma repetição da primeira. Sendo assim:

A resposta é a alternativa C.

Considere a sequência: (P, 3, S, 4, W, 5, B, 4, F, 3, …). De acordo com a lógica observada nos primeiros elementos da sequência, o elemento, dentre os apresentados, que a completa corretamente é:

A) C

B) G

C) I

D) 2

E) 4

Bom, pelo padrão apresentado, uma letra e um número alternados, já eliminados de cara as alternativas D e E, pois a resposta deverá ser uma letra. Vamos descobrir qual é.

Veja que a questão não falou nada sobre o W, Y e K, então devemos considerá-los. Seguindo a ordem do alfabeto, chegamos a conclusão de que os números significam a quantidade de letras entre a letra anterior e a próxima. Seguindo:

GHI

A resposta é I. Alternativa C.

A sequência seguinte apresenta um número e, entre parênteses, a correspondente letra que o representa:

101 (B) – 378 (R) – 492 (?) – 500 (E) – 651 (L)

Se as letras usadas são do alfabeto oficial, então, de acordo com o padrão considerado, a letra que representa o número 492 deve ser:

A) J

B) O

C) N

D) S

E) U

Trouxe essa questão para te mostrar que as vezes a banca inventa moda. E que a solução talvez seja mais fácil do que você pensa.

O que veio primeiro à sua cabeça? Dividir 101 por 26 (número de letras do alfabeto)? O resultado é 3,88. Se considerarmos 3, temos C, se considerarmos 4, temos D. E não B.

Para não manter o suspense eu vou te contar.

Somando 1+0+1 = 2 = B. Somando 3+7+8 = 18 = R.

Logo, somando 4+9+2 = 15 = O. Alternativa B.

Sequências lógicas de palavras

Cada uma das duas primeiras linhas seguintes apresenta um par de palavras que foram formadas obedecendo a determinado critério. Esse mesmo critério deve ser usado para completar a terceira linha, na qual falta uma palavra.

GROSSO – SOGRO

TESTEMUNHAR – ARTES

AMEDRONTAR – ?

A palavra que deve estar no lugar do ponto de interrogação é:

A) ARAME

B) ARDEM

C) ENTOA

D) RONDA

E) TRAMA

Logo de cara já se pensa em anagrama, certo? Mas nunca será anagrama. Porque teríamos muitas opções e só uma pode ser a correta. Grave isso. Nunca será um anagrama.

Pois bem. Se você reparar estamos usando a primeira palavra as 2 últimas letras, somadas às 3 primeiras letras. GROSSO > Sogro.

Logo, a resposta é arame. Alternativa A.

 Para responder as questões 2 e 3, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita for formada a partir da palavra da esquerda segundo um determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para associar a terceira palavra àquela que deve ser corretamente colocada no lugar do ponto de interrogação.

2. telefonar – arte

robustecer – erro

cadastro – ?

A) troca

B) roca

C) cada

D) caro

E) orca

3. capitular – lar

loucura – cura

batalho – ?

A) alho

B) bolha

C) atola

D) atalho

E) talho

Seguimos um padrão parecido com a questão anterior. 

Para a questão 2 estamos usando, da primeira palavra, as duas últimas letras, somadas às 2 primeiras. Logo, cadastro > roca. Alternativa B.

Para a questão 3 temos um padrão um pouquinho diferente. Você consegue identificar? Tente identificar o padrão antes de ler a resposta!

Estamos trabalhando apenas com as últimas letras da primeira palavra.

batalho > ?

Pela lógica, devemos usar as 5 últimas letras de batalho, então teremos talho, alternativa E.

Essa sequência de palavras segue uma lógica: Pá, Xale, Japeri.

Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser:

A) casa

B) anseio

C) urubu

D) café

E) sua

A primeira coisa que nos vem à cabeça é o número de letras. 2, 4, 6. Teoricamente a próxima palavra deveria ter 8 letras. Mas não temos uma palavra com 8 letras nas alternativas.

Nesses casos perceba o número de vogais, ou consoantes. Ou transforme em número e tente resolver conforme as questões anteriores.

Vamos ver as vogais? Temos 1 vogal, 2 vogais, 3 vogais. A próxima palavra deveria ter 4 vogais. A resposta é anseio, alternativa B.

Bons estudos a todos!

Os problemas lógicos, muito comuns em provas de raciocínio, envolvem geralmente dois tipos de questões.

Aquelas em que o enunciado te apresenta algumas pessoas e te dá algumas informações sobre elas, e então você tem que descobrir qual das pessoas possui determinada característica específica.

E aquelas onde o enunciado traz uma lista de pessoas ou objetos e uma série de frases e, a partir delas você tem que descobrir qual a ordem em que essas pessoas/objetos entraram em cena ou estão dispostos.

Você entenderá melhor com os exemplos. Vamos lá?

Ana, Beto, Carlos e Diva moram nos bairros: Tijuca, Barra, Copa e Leblon (não necessariamente nessa ordem, um em cada bairro). Sabemos que: Beto não é morador de copacabana e Ana é amiga do(a) morador(a) da Tijuca. Diva mora na Tijuca e Beto é irmão do morador (a) do Leblon. Carlos visita regularmente a pessoa que mora no Leblon. A partir desse enunciado podemos afirmar que:

A) Ana mora na Barra.

B) Carlos não mora em Copacabana.

C) Carlos mora em Copacabana e Beto não mora na Barra.

D) Beto não mora na Barra.

E) Ana mora no Leblon.

Bom, a primeira coisa que nós temos que fazer é montar uma tabela. Sempre com os nomes à esquerda. Vai por mim.

E agora vamos analisando as afirmativas que o enunciado nos trouxe, uma a uma. Primeiro, Beto não é morador de copacabana. Vamos marcar um FALSO nesse quadrinho.

Ana é amiga do(a) morador(a) da Tijuca. Podemos inferir, então, que Ana não mora na Tijuca, certo?

Diva mora na Tijuca. Opa, temos uma afirmativa. Vamos preencher no respectivo quadrinho.

Agora que vem o pulo do gato. Vamos marcar um FALSO em todos os demais quadrinhos da linha e da coluna desse OK. Por que? Ora, se diva mora na Tijuca então ela não mora nos outros lugares, certo? E também, os demais personagens não moram na Tijuca.

Vamos pra próxima. Beto é irmão do morador (a) do Leblon. Isso não nos diz muita coisa, apenas que Beto não mora no Leblon.

Se você olhar pra tabela, verá que descobrimos que Beto mora na Barra, afinal é a única possibilidade.

Conforme dissemos anteriormente. Vamos agora preencher com FALSO em toda a linha e a coluna desse OK.

Voltando ao enunciado, temos mais uma afirmativa: Carlos visita regularmente a pessoa que mora no Leblon, logo, Carlos não mora no Leblon.

Descobrimos, então, que Carlos mora em Copacabana

Marcando FALSO na linha e na coluna… Descobrimos que Ana só pode morar no Leblon.

Voltando ao enunciado. O gabarito é a letra E.

Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio trabalham no banco – um deles no complexo computacional, outro na administração e outro na segurança do sistema financeiro, não respectivamente. A praça de lotação de cada um deles é: São Paulo, Rio de Janeiro e Porto Alegre.

Sabe-se que: Cássio trabalha na segurança do Sistema Financeiro. O que está lotado em São Paulo trabalha na administração. Amanda não está lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração.

É verdade que quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo computacional são, respectivamente:

A) Cássio e Beatriz.

B) Beatriz e Cássio.

C) Cássio e Amanda.

D) Beatriz e Amanda

E) Amanda e Cássio

A diferença desta questão para anterior é que agora temos duas informações relacionadas a cada pessoa. A nossa tabela será um pouquinho diferente, mas a resolução será exatamente igual.

Vamos lá? Cássio trabalha na segurança do Sistema Financeiro.

Como combinamos, marcamos agora FALSO na linha e na coluna deste OK. Mas cuidado! Apenas na parte referente ao setor!

 O que está lotado em São Paulo trabalha na administração. Ainda não sabemos quem está lotado em São Paulo, nem quem trabalha com administração. Mas sabemos que Cássio não trabalha com administração, logo ele não está lotado em São Paulo.

Guardamos essa afirmativa para mais tarde, e vamos pra próxima: Amanda não está lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração. Afirmativa bem direta.

Como você pôde perceber, só sobrou Computação para a Amanda. Já preenchemos o devido quadrinho com um OK. Agora, marcamos FALSO na linha e na coluna.

E com isso. Descobrimos que Beatriz trabalha com administração. Opa! 
O que está lotado em São Paulo trabalha na administração, lembra? logo, Beatriz está lotada em São Paulo.

FALSO na linha e na coluna…

Amanda só pode estar lotada no Rio.

Marcando FALSO na linha e na coluna chegamos a conclusão de que Cássio está lotado em Porto Alegre.

O gabarito é a letra D: quem está lotado em SP é a Beatriz, e quem trabalha no complexo computacional é a Amanda.

Quando a banca traz a tabela:

Antônio, Benedito e Camilo são clientes de uma agência bancária. Certo dia, os três entraram na agência e pegaram senhas para atendimento no caixa. Cada um deles realizou exatamente uma das seguintes tarefas: fazer um depósito, pagar uma fatura, liquidar uma hipoteca. Nas linhas e colunas da tabela abaixo, são dados os nomes dos três clientes, as tarefas que eles realizaram e a ordem em que foram atendidos, em relação aos outros dois.

Sabendo que Camilo não foi o segundo nem o terceiro a ser atendido, que Antônio foi liquidar a hipoteca e que o segundo que foi atendido foi pagar uma fatura, marque em cada célula da tabela V ou F conforme o cruzamento das informações das respectivas linha e coluna seja verdadeiro ou falso.

Com base nas informações acima, julgue os itens subsequentes:

1) Antônio foi o terceiro atendido e não foi fazer o depósito bancário na agência.

2) Benedito não foi pagar a fatura na agência bancária.

3) Se um dos clientes não foi o primeiro a ser atendido ou não foi fazer o depósito, então ele não se chama Camilo.

Nessa questão, a banca trouxe a tabela impressa na prova. A tabela que ela trouxe foi a seguinte:

Diferente do que estávamos vendo, não? E de propósito, só pra te confundir. Você reparou que as informações são redundantes? Podemos simplesmente remover a parte redundante da tabela.

E agora resolvemos exatamente da mesma forma que o exercício anterior. Mas quem vai resolver essa questão é você! Veja se consegue achar a resposta. Quando terminar, clique aqui, para ver a nossa tabela preenchida.

Não se esqueça de verificar se as alternativas 1,2,3 do enunciado são verdadeiras ou falsas. Essa era uma prova CESPE, cada alternativa era uma questão diferente. E se errar perde um ponto!

Para preencher a tabela a seguir, considere que os filmes A e B sejam de categorias distintas – documentário ou ficção -, e, em um festival de cinema, receberam premiações diferentes – melhor fotografia ou melhor diretor. Tendo como base as células já preenchidas, preencha as outras células com V ou F, conforme o cruzamento da informação da linha e da coluna correspondentes constitua uma proposição verdadeira ou falsa, respectivamente.

A partir do preenchimento das células da tabela julgue os itens subsequentes:

1) a proposição “o documentário recebeu o prêmio de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o prêmio de melhor diretor” é V.

2) A proposição “se o filme B é um documentário, então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor fotografia” é V.

3) A proposição “o filme A é um filme de ficção” é V.

Pois bem, a tabela que a questão trouxe foi esta:

E aí você vai pensar, posso então remover a parte redundante! Calma, pequeno gafanhoto. Veja que a parte redundante tem um valor preenchido. Antes de podermos remover precisamos usar aquela informação. Mas vamos por partes.

A tabela traz preenchido que o filme B venceu a categoria melhor diretor. O que fazemos nessas situações? Isso mesmo, FALSO na linha e na coluna.

Com isso, descobrimos que o filme A venceu a categoria de melhor fotografia.

Agora, vamos mover aquela informação da parte de baixo da tabela. O que ela nos diz? O filme que venceu melhor diretor não é o documentário. Sabemos quem venceu para melhor diretor, certo? O filme B. Logo, o filme B não é o documentário.

Nesse momento, se você quiser pode remover a parte debaixo da tabela.

Se o filme B não é o documentário, ele só pode ser de ficção.

FALSO na linha e na coluna…

O filme A, obrigatoriamente será o documentário.

Analisando as alternativas:

A proposição “o documentário recebeu o prêmio de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o prêmio de melhor diretor” é V. Repare que estamos falando de proposições.

• O documentário recebeu o prêmio de melhor fotografia. V.
• O filme B não recebeu o prêmio de melhor diretor. F
• VvF = V. Alternativa Certa.

A proposição “se o filme B é um documentário, então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor fotografia” é V.

• O filme B é um documentário. F
• O filme de ficção recebeu o prêmio de melhor fotografia. F
• F→F = V. Alternativa certa.

A proposição “o filme A é um filme de ficção” é V.

Ordem de Elementos

Questões de ordem de elementos também são comuns em raciocínio. O enunciado te trará uma lista de coisas e a ordem em que elas entraram em cena, em relação as outras. E então te perguntará qual a posição de determinado objeto.

Você tem que ter dois cuidados: Nunca comece fazendo uma lista numerada, coloque os números somente no final. E cuidado quando o enunciado diz que um objeto chegou imediatamente após o outro, isso significa que eles estão “grudados”. Nenhum outro objeto chegou entre esses dois.

Vamos aos exemplos?

Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís, Paula e João, sabe-se que:

Ana chegou antes de Paula e Luís; Paula chegou antes de João; Cláudia chegou antes de Ana; João não foi o último a chegar.

Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório foi:

A) Ana.

B) Cláudia.

C) João.

D) Luís

E) Paula

Para resolver bata analisar as afirmativas com calma. Ana chegou antes de Paula e Luís.

Luís

Deixamos espaços entre eles de propósito. Vamos à próxima. Paula chegou antes de João. Ou seja, João chegou depois de Paula, mas ele pode ter chegado logo após Paula, ou após Luís. Preenchemos ambas as hipóteses, por ora.

João

Cláudia chegou antes de Ana. Simples, só há uma hipótese disso ter acontecido.

João

João não foi o último a chegar. Opa! removemos então o João que está na última posição.

Luís

Agora sim, adicionamos os números das posições.

5. Luís

Gabarito letra E. 

Mais um?

Parte do material de limpeza usado em certa unidade do Tribunal Regional do Trabalho é armazenada em uma estante que tem 5 prateleiras, sucessivamente numeradas de 1 a 5, no sentido de cima para baixo.

Sabe-se que: cada prateleira destina-se a um único tipo dos seguintes produtos: álcool, detergente, sabão, cera e removedor; O Sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; O detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela cola à dele; O álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão;

A partir disso podemos afirma que:

A) o detergente é guardado na prateleira 1.

B) A cera é guardada na prateleira 5.

C) O álcool é guardado na prateleira 3.

D) O removedor é guardado na prateleira 4.

E) O sabão é guardado na prateleira 2.

O Sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; Aqui temos a palavrinha imediatamente. Os dois estão colados, não deixaremos espaço entre eles.

Removedor

O detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela cola à dele; Não temos nem detergente nem álcool na nossa listinha, guardamos essa afirmativa pra depois.

O álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão; O álcool está colado na prateleira do sabão.

Removedor

O detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela cola à dele; O detergente está acima de todo mundo.

Removedor

Removemos os espaços e colocamos os números.

5. Removedor

Gabarito letra A.

Bons estudos a todos!

Problemas lógicos envolvem mais a lógica em sentido estrito, então não temos o caminho certo ou errado de resolver um problema. Mas quando nos deparamos com problemas envolvendo dados, figuras e palitos, existem algumas dicas que podem te ajudar a começar a resolução. Vamos ver alguns exemplos?

Problemas com dados

No caso dos dados, existem duas informações que podem te ajudar:

A soma das faces opostas de um dado comum será sempre igual a 7. Se você tiver a face com o número 1 voltada para cima, a face oposta será, obrigatoriamente a de número 6. Se você tiver a face com o número 2 voltada para cima, a face oposta será, obrigatoriamente a de número 5. E assim sucessivamente.

A soma de todas as faces de um dado comum será sempre 21. 1+2+3+4+5+6 = 21. Vamos aos exemplos:

Nos dados habitualmente usados em jogos, a soma dos pontos de duas faces opostas deve ser sempre igual a 7. Assim, por exemplo, todas as vistas possíveis de um dado cuja face da frente tem 1 ponto marcado estão representadas nas figuras abaixo.

As figuras que representam todas as vistas possíveis de um dado que tem 3 pontos na face da frente é:

Se temos a face com o número 3 sempre na face da frente, então teremos, obrigatoriamente, a face com o número 4 na face oposta. 3+4=7. Logo, a resposta será aquela na qual não aparece a face com o número 4. Letra B.

Considere o dado mostrado na figura abaixo:

Sabendo que os pontos marcados em faces opostas somam 7 unidades, o total de pontos assinalados nas faces não-visíveis desse dado é igual a:

Sabemos que a soma de todos os lados é iguala 21. Nas faces visíveis temos 4+2+1 = 7. Logo 21-7 = 14. A resposta é a número 2.

Problemas com figuras

Para os problemas com figuras, repare se o problema envolve múltiplas figuras. Nesse caso observe o que muda em cada figura individualmente, ao invés de olhar para o todo.

A seqüência de figuras abaixo foi construída obedecendo a determinado padrão.

Segundo esse padrão, a figura que completa a seqüência é

Dentro da nossa figura, temos 2 elementos (coração e árvore) se movimentando. Vamos ver individualmente para onde estão se movimentando:

O coração está bem óbvio. Está descendo em uma diagonal reta, e deve acabar no canto inferior esquerdo da figura. A árvore está andando em zigue-zague para a direita e deve acabar na lateral direita, no segundo quadro, de baixo pra cima. Você concorda?

A resposta é a quarta opção.

Mesma lógica do exemplo anterior. Vamos ver como os elementos estão se movendo individualmente:

Bem simples. Apenas repare que, o círculo muda entre preenchido e vazio a cada movimento. No último ele deverá estar preenchido. A resposta é a opção E.

Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada?

Nesse exemplo temos uma lógica diferente. Temos um quadrado, que se relaciona com um quadrado cortado em 4 pedaços. Concorda? E temos um triângulo.

O quadrado tem 4 lados, e foi cortado em 4 partes iguais. Seria lógico esperar que o triângulo fosse cortado em 3 partes iguais, afinal ele tem 3 lados. A resposta é a letra E.

Sequências de Figuras

Quando nos deparamos com uma sequência de figuras, precisamos identificar o ciclo, ou seja, quantas figuras são necessárias para se completar um ciclo.

De posse dessa informação, basta dividir a posição que o enunciado pede pelo número de imagens do ciclo. O resto dessa divisão será a resposta certa. Caso o resto seja zero, a resposta será a última figura do ciclo.

Ficou complexo? Exemplo:

Analise a sequência apresentada.

Considerando que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 89ª posição dessa sequência é:

Não, você não vai desenhar 89 hexágonos na sua prova.

Vamos tentar achar o ciclo. Quantas imagens são necessárias para fecharmos um ciclo completo? Você concorda que com 4 imagens nós retornamos à primeira? Então temos um ciclo a cada 4 imagens.

O enunciado está pedindo a 89ª. Vamos dividir 89 por 4. O resultado é 22, e sobra 1. Logo a primeira imagem do ciclo é a resposta. Coincidentemente é a primeira alternativa.

Mais um?

Considere a seqüência de figuras:

Mantendo a mesma lei de formação, a 1ª figura é igual à:

1. 11ª figura.
2. 12ª figura.
3. 13ª figura.
4. 14ª figura.
5. 15ª figura

Certo. Calma. Vamos identificar o ciclo. Quantas figuras são necessárias para fechar um ciclo? Você concorda que a ocorrem 3 mudanças até se fechar um ciclo?

Temos 4 quadrantes, e ocorrem 3 mudanças para cada quadrante. Logo, são 12 mudanças até voltar à primeira imagem. A resposta é a número 2.

Obs. Como o enunciado nos deu alternativas, ao invés de pedir uma posição específica, utilizamos a multiplicação do número de ciclos, pelo número de quadrantes. Diferente do que usamos no exemplo anterior.

Problemas com palitos

Problemas com palitos, geralmente perguntam qual a quantidade mínima de palitos que você pode mexer para criar ou alterar uma figura. Para resolver esse tipo de questão, tente manter o máximo de palitos que você conseguir sem alteração.

Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II:

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é

Vamos tentar manter o máximo de palitos intactos. Você consegue identificar partes em comum entre as duas imagens?

Teremos de mover, obrigatoriamente, no mínimo, 5 palitos. A resposta é a número 3.

Bons estudos a todos!

Análise combinatória é um princípio multiplicativo que analisa as possibilidades e combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

Princípio Fundamental da Contagem: Multiplicamos as possibilidades de cada etapa do problema.

De quantas maneiras podemos usar cinco camisetas e duas bermudas?

Uma estudante ainda tem dúvidas quanto aos quatro últimos dígitos do número do celular de seu novo colega, pois não anotou quando ele lhe informou, apesar de saber quais são não se lembra da ordem em que eles aparecem. Nessas condições, pode-se afirmar que o número de possibilidades para a ordem desses quatro dígitos é…

Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?

Fatorial

Um grande número de questões pode ser resolvido simplesmente da forma mostrada acima. Entretanto, existem problemas que não terão como ser resolvidos, ou será muito trabalhoso calcular todas as possibilidades. Para esses problemas existem algumas técnicas que veremos agora. Mas, antes de vermos as técnicas, vamos ver como funciona o fatorial, pois você irá precisar dele.

O fatorial é basicamente a multiplicação de um número por todos os seus antecessores. Ele é representado por uma exclamação. Exemplos:

Arranjos

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos faz a diferença. Por exemplo:

Quais sãs os números de três algarismos formados pelos algarismos {1,2,3}?

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. Note que os elementos não se repetem. A fórmula para resolver um problema de arranjo é a seguinte:

Onde n é a quantidade de elementos de um conjunto qualquer, e p é um número natural menor ou igual a n. Exemplo:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Podemos usar 5 letras dentre 20, certo?

A simplificação que ocorreu aqui foi a seguinte: Como estamos dividindo o fatorial de 20 pelo fatorial de 15, podemos cortar boa parte desses números, pois eles se repetem em cima e embaixo. Imagine você calculando esse número gigantesco, sem calculadora, na hora da prova. Não tem como né? Use a simplificação.

Na votação para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-representante.

Queremos escolher duas pessoas dentre 20, certo?

Permutações Simples

As permutações são agrupamentos onde o número de elementos do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. Note que a permutação é um caso especial de arranjo. Desta maneira, é como se tivéssemos um arranjo com denominador 1. Assim, para resolver uma permutação simples, basta realizar um fatorial.

De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares?

Queremos dividir 6 pessoas em 6 lugares, certo? Usando a fórmula do arranjo:

Note que você poderia ter resolvido diretamente, apenas fazendo o fatorial de 6.

Quantos anagramas poderíamos formar com as letras da palavra PROVA?

Permutações com repetições

Permutações com repetições é uma variação das permutações simples, onde ocorre a repetição de um ou mais elementos. Resolvemos esse tipo de problema colocando os elementos repetidos, em forma de fatorial, no denominador. Exemplo:

Quantos anagramas poderíamos formar com as letrar da palavra RACIOCÍNIO?

Bom, são 10 letras ao todo, mas repare que a letra i se repete 3 vezes, a letra o se repete 2 vezes e a letra c se repete duas vezes. O numerador será o fatorial de 10. E o denominador serão os fatoriais de 3, 2 e 2 novamente.

Poderia ter simplificado mais, mas para fins didáticos preferi fazer de forma mais completa.

Permutações circulares

Permutações circulares nada mais são do que a disposição de elementos distintos de um arranjo ao redor de um círculo. Imagine a seguinte questão:

O presidente de uma grande empresa reserva todas as segundas-feiras de manhã para realizar uma reunião com todos os diretores. Considerando que existem cinco diretores nas mais diversas áreas dessa empresa, calcule de quantas maneiras essas seis pessoas (presidente e diretores) podem ser dispostos numa mesa redonda.

Se a mesa não fosse redonda, estaríamos tentando dispor 6 pessoas em 6 lugares. Uma permutação simples, onde o resultado seria 6! = 720 possibilidades.

Porém, temos aqui uma mesa redonda. Imagine que as 6 pessoas são as letras A,B,C,D,E,F. Você concorda que as ordens ABCDEF, FABCDE, EFABCD, DEFABC, CDEFAB e BCDEFA são seis modos de descrever a mesma posição, dado que a mesa é redonda?

Então temos que descontar essas possibilidades em nosso cálculo.

Ou, simplesmente:

Combinações Simples

A Combinações simples é um tipo de agrupamento, formados com os elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos não interfere. Uma importante aplicação de combinação simples ocorre nas loterias. A mega-sena, por exemplo, consiste de uma cartela de 60 números, dentre os quais devemos acertar 6, portanto temos uma combinação onde devemos retirar 6 números de 60.

Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantos possíveis grupos podem ser formados?

O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três pessoas num conjunto de oito pessoas é igual a…

Combinações com repetições

As combinações com repetições são combinações, conforme vistas acima, porém permitem que os elementos se repitam. Exemplo:

De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 5 sabores?

Se você resolvesse esse problema pela fórmula das combinações simples, a resposta seria 10. Porém, imagine que os 5 sabores oferecidos são morango, uva, chocolate, creme e baunilha e que um amigo seu gosta MUITO de morango. Ele poderia escolher 3 sorvetes de morango, certo?

Então a fórmula correta para resolvermos questões desse tipo, seria:

Dica: cuide com o texto da questão: “De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 5 sabores?” é combinação com repetições. Enquanto que: “De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes diferentes em uma loja que os oferece em 5 sabores?” é combinação simples.

Vamos ver outro exemplo?

De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece 7 opções de escolha de salgadinhos?

Resumindo

Deixo aqui as fórmulas que você vai precisar para resolver cada caso. Para ser mais didático usarei as letras T para o total de elementos e E para a quantidade de elementos que estamos trabalhando no problema.

Arranjo:

Permutação simples:

Permutação com repetições:

Permutação circular: 

Combinação simples:

Combinação circular:

Agora, se você tem dúvidas quanto a qual método deve usar em uma questão, faça a seguinte pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições?

NÃO: A ordem dos elementos importa?

• SIM: Arranjo;
• NÃO: Combinação;

Exemplos:

Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04,10,26,37,47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

O número de objetos é igual ao número de posições? Sim, pois temos 6 números e 6 posições, ou seja, é uma permutação. E se trata de uma permutação simples, pois os números não se repetem, e não devem ser dispostos ao redor de um círculo.

Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

O número de objetos é igual ao número de posições? Não, porque temos 10 objetos e 6 posições. A ordem importa? Sim, note que a sequência 1,3,5,6,7,9 é diferente da sequência 9,7,6,5,3,1. Logo vamos utilizar arranjo.

Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

O número de objetos é igual ao número de posições? Não, porque temos 8 cobaias e vamos escolher 3. A ordem importa? Não, ordem não importa, note que se numerarmos as cobaias de 1 a 8. E escolhermos a cobaia 2, 4, e 5 é a mesma coisa que escolher a cobaia 4, 5 e 2. Logo é uma combinação. E se trata de uma combinação simples, pois os elementos não podem se repetir.

Bons estudos a todos!

Um conjunto é um conceito intuitivo. Entende-se por conjunto todo agrupamento bem determinado de coisas, objetos, pessoas, etc. Ex.: conjunto das vogais.

Representação

Existem três maneiras de representar um conjunto:

• Por enumeração, entre chaves: A = {1;3;5;7;9;}
• Por uma característica: A = {x / x é um número ímpar}
• Através de uma linha poligonal fechada (diagrama de venn);

Conjuntos Especiais

Conjunto unitário: aquele formado por um só elemento.

• Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
• Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
• Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}

Conjunto vazio: aquele formado por nenhum elemento. A representação do conjunto vazio é dado pelo símbolo ∅. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

Cuidado! Não represente o conjunto vazio por {∅}, pois assim você está representando apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o ∅.

Conjunto universo: Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem todos os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.

Complementar: o complementar de um subconjunto A se refere aos elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo, sendo o conjunto AC o complementar de A, que será formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Exemplo:

• • A = {1;2;3;4;5;}
  • U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;}
  • AC = {6;7;8;9;10;}

Relações

A relação de Pertinência indica se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Exemplo: Dado o conjunto A = {3; 4; 5; 6;}, podemos dizer que:

• 3 ∈ A (o número 3 pertence ao conjunto A);
• 1 ∉ A (o número 1 não pertence ao conjunto A);

A relação de inclusão indica se um conjunto está contido dentro de outro conjunto. Esse fenômeno ocorre quando todos os elementos de um dado conjunto pertencem, também, a outro conjunto. Exemplo:

• A = {1; 2; 3;}
• B = {1; 2; 3; 4; 5;}
• C = {6; 7; 8;}
• Dizemos que A ⊂ B (o conjunto A está contido no conjunto B);
• Dizemos que C ⊄ A (O conjunto C não está contido no conjunto A);

Cuidado com a direção do símbolo! A⊂B significa “A está contido em B”, enquanto que A⊃B significa “B está contido em A”.

A relação de igualdade indica se dois conjuntos são iguais. Dois conjuntos A e B quaisquer serão iguais se, e somente se, simultaneamente A estiver contido em B e B estiver contido em A. Exemplo:

• A = {a; e; i;}
• B = {e; i; a;}
• Dizemos que A = B;

Operações

União: O conjunto formado pelos elementos de A ou B, ou seja, todos os elementos. A representação dessa operação é A∪B.

• A = {1;2;3;4;5;}
• B = {4;5;6;7;8;}
• A∪B = {1;2;3;4;5;6;7;8}

Intersecção: O conjunto formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, ao conjunto A e ao conjunto B. A representação dessa operação é A∩B.

• A = {1;2;3;4;5;}
• B = {4;5;6;7;8;}
• A∩B {4;5;}

Diferença: A diferença entre dois conjuntos quaisquer A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A representação dessa operação é A–B.

• A = {1;2;3;4;5;}
• B = {4;5;6;7;8;}
• A–B {1;2;3;}
• B-A {6;7;8;}

Conjunto das Partes: Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo: Dado o conjunto A = {2;3;5;}:

1. Subconjunto vazio: ∅, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2. Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3. Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4. Subconjuntos com três elementos: A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma:

• P(A) = {∅ , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}};

Para descobrir o número de elementos do conjunto das partes, sem ter de escrever todos os elementos, a fórmula é 2n, onde n é o número de elementos do conjunto.

Propriedades

As propriedades dos conjuntos possuem a mesma lógica do que as relações de equivalência, que vimos na lógica de proposição (Equivalência e Negação de Proposições Compostas). Você pode alternar entre as relações conforme for conveniente para a resolução das questões.

Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade comutativa

Propriedade associativa

• (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
• (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Propriedade distributiva

• A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
• A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Se A estiver contido em B (A⊂B)

• A∪B será igual a B;
• A∩B será igual a A;
• (A∪C) ⊂ (B∪C)
• (A∩C) ⊂ (B∩C)

Resolução de Questões

Algumas dicas para ajudá-lo a resolver questões que envolvam conjuntos. Primeiramente, para montar o diagrama, lembre-se de sempre desenhar um espaço para o “todo”, o conjunto universo.

Quando for preencher os valores, comece sempre pela intersecção e, ao preencher os valores dos conjuntos, subtraia o valor que você já colocou para a intersecção. Exemplo:

Numa pesquisa verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B. 20 liam os dois jornais e, 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

Bom, a questão quer saber o valor do todo. Vamos lá, primeiro preenchemos o valor da intersecção: 20.

A seguir, preenchemos os valores de A e de B. O enunciado diz que 100 pessoas liam o jornal A, mas não vamos preencher o valor 100, pois dessas 100, 20 já estão na intersecção! Vamos preencher 80 para o conjunto A. Para o conjunto B, o mesmo processo, preenchemos com 90.

E ainda temos 110 pessoas que não leem nenhum dos dois jornais. Colocamos esse valor do lado de fora dos conjuntos, mas dentro do conjunto universo.

Agora basta somar todos os valores que temos no desenho: 110+90+80+20 = 300 pessoas. Esse é o valor do todo.

Caso a questão vier lhe perguntado o valor da intersecção, mas lhe der o valor do todo. Basta somar todos os valores dos conjuntos individuais e subtrair do valor do todo. Exemplo:

Numa pesquisa sobre esportes realizada com 1.000 adolescentes, 780 afirmaram gostar de futebol e 450 afirmaram gostar de vôlei. O número de entrevistados que disseram gostar de futebol e, também, de vôlei foi (…)

Sabemos que o todo é 1.000. Então somamos 780+450 e temos 1240. Esses 1240-1000 = 240. Essa é nossa intersecção. 240 adolescentes gostam de futebol e de vôlei ao mesmo tempo.

Se você quiser testar a sua resposta, faça o seguinte: Sabemos que para chegar ao todo, precisamos somar todos os valores, como vimos no exemplo anterior, certo?

E sabemos também que devemos preencher primeiro a intersecção, e quando formos preencher os valores dos conjuntos específicos devemos subtrair o valor da intersecção, certo?

E quais são nossos valores então?

• 1000, que é o nosso todo.
• x, que é a nossa intersecção, que não sabemos o valor;
• 780-x adolescentes gostam de futebol;
• 450-x adolescentes gostam de vôlei;

Agora, basta somar tudo.

Bons estudos a todos!