O teorema da bissetriz interna demonstra que quando traçamos a bissetriz de um ângulo interno do triângulo, ela divide o lado oposto a esse ângulo em segmentos de retas que são proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo. Com o teorema da bissetriz interna podemos determinar qual é a medida dos lados do triângulo ou mesmo dos segmentos divididos pelo ponto de encontro da bissetriz, utilizando a proporção. Show
Saiba mais: Condição de existência de um triângulo — a verificação da existência dessa figura Resumo sobre teorema da bissetriz interna
Videoaula sobre teorema da bissetriz internaA bissetriz de um ângulo é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. O teorema da bissetriz interna nos mostra que ao traçar a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo, ela encontra o lado oposto em um ponto P, dividindo-o em dois segmentos de reta. Ou seja, os segmentos divididos pela bissetriz de um ângulo interno do triângulo são proporcionais aos lados adjacentes do ângulo. Os segmentos de reta formados pelo ponto de encontro da bissetriz de um ângulo com o lado oposto a esse ângulo possuem uma proporção com os lados que são adjacentes a esse ângulo. Veja no triângulo a seguir: A bissetriz do ângulo A divide o lado oposto nos segmentos \(\overline{BP}\) e \(\overline{CP}\). O teorema da bissetriz interna demonstra que: \(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CP}}\) Dado o triângulo a seguir, sabendo que AP é a sua bissetriz, o valor de x é: Resolução: Para encontrar o valor de x, aplicaremos o teorema da bissetriz interna. \(\frac{10}{5}=\frac{15}{x}\) Multiplicando cruzado, temos que: \(10x=15\cdot5\) \(10x=75\) \(x=\frac{75}{10}\) \(x=7,5\ cm\) Portanto, o lado CP mede 7,5 centímetros. Demonstração do teorema da bissetriz internaConhecemos como demonstração de um teorema a prova de que ele é verdade. Para demonstrar o teorema da bissetriz interna, vamos seguir alguns passos. No triângulo ABC com a bissetriz AP, traçaremos o prolongamento do lado AB até ele se encontrar com o segmento CD, que será delineado de forma paralela à bissetriz AP. Note que o ângulo ADC é congruente ao ângulo BAP, pois CD e AP são paralelos e cortam a mesma reta, que possui os pontos B, A e D. Podemos aplicar o teorema de Tales, que prova que os segmentos formados por uma reta transversal ao interceptar retas paralelas são congruentes. Assim, pelo teorema de Tales: \(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{PC}}\) Note que o triângulo ACD é isósceles, pois a soma dos ângulos ACD +ADC é igual a 2x. Logo, cada um desses ângulos mede x. Sendo o triângulo ACD isósceles, o segmento \(\overline{AC}\) possui a mesma medida que o segmento \(\overline{AD}\). Dessa forma, temos: \(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{PC}}\) Fica assim demonstrado o teorema da bissetriz interna. Leia também: Teorema de Pitágoras — o teorema que pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz internaQuestão 1 Calcule a medida do lado AB no triângulo a seguir, sabendo que AD é bissetriz do ângulo A. A) 10 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 16 cm E) 20 cm Resolução: Alternativa B Sendo x a medida do lado AB, pelo teorema da bissetriz interna temos que: \(\frac{x}{4}=\frac{18}{6}\) \(\frac{x}{4}=3\) \(x=4\cdot3\) \(x=12\ cm\) Questão 2 Analise o triângulo a seguir e calcule o comprimento do segmento BC. A) 36 cm B) 30 cm C) 28 cm D) 25 cm E) 24 cm Resolução: Alternativa A Pelo teorema da bissetriz interna: \(\frac{30}{2x+6}=\frac{24}{3x-5}\) Multiplicando cruzado: \(30\left(3x-5\right)=24\left(2x+6\right)\) \(90x-150=48x+144\) \(90x-48x=150+144\) \(42x=294\) \(x=\frac{294}{42}\) \(x=7\ cm\) Sabendo a medida de x, obtemos: BC = 2x + 6 + 3x – 5 BC = \(2\cdot7+6+3\cdot7-5\) BC = \(\ 36\ cm\) O teorema da bissetriz interna foi desenvolvido especificamente para triângulos e mostra que ao traçarmos a bissetriz interna de um ângulo do triângulo, o ponto de encontro da bissetriz com o lado oposto a ela divide esse lado em segmentos de reta proporcionais aos lados adjacentes desse ângulo. Com a aplicação do teorema da bissetriz interna é possível determinar qual é o valor do lado ou dos segmentos do triângulo utilizando a proporção entre eles. Veja também: Mediana, bissetriz e altura de um triângulo — qual a diferença? Resumo sobre teorema da bissetriz interna:
Videoaula sobre o teorema da bissetriz internaQual é o teorema da bissetriz?Antes de entendermos o que o teorema da bissetriz interna diz, é importante saber o que é bissetriz de um ângulo. Ela se trata de uma semirreta que divide o ângulo em duas partes congruentes, ou seja, duas partes que possuem a mesma medida.  Entendendo o que é a bissetriz, notamos que existe ela existe no ângulo interno de um triângulo. Quando delineamos a bissetriz de um ângulo do triângulo, ela dividirá o lado oposto em dois segmentos. A respeito da bissetriz interna, seu teorema diz que os dois segmentos divididos por ela são proporcionais aos lados adjacentes do ângulo. Perceba que a bissetriz divide o lado AC em dois segmentos, o AD e o DC. O teorema da bissetriz mostra que: \(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\) Saiba mais: Teorema de Pitágoras — outro teorema desenvolvido para triângulos Demonstração do teorema da bissetriz internaNo triângulo ABC abaixo, demarcaremos o segmento BD, que é a bissetriz desse triângulo. Além disso, traçaremos o prolongamento do seu lado CB e o segmento AE, paralelo a BD: O ângulo AEB é congruente ao ângulo DBC, pois CE é uma reta transversal aos segmentos paralelos AE e BD. Aplicando o teorema de Tales, concluímos que: \(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\) Agora, nos resta demonstrar que BE = AB. Sendo x a medida do ângulo ABD e DBC, analisando o ângulo ABE, obtemos: ABE = 180 – 2x Sendo y a medida do ângulo EAB, temos a seguinte situação: Sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo ABE é 180°, então podemos calcular: 180 – 2x + x + y = 180 – x + y = 180 – 180 – x + y = 0 y = x Se o ângulo x e o ângulo y possuem a mesma medida, o triângulo ABE é isósceles. Sendo assim, o lado AB = AE. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°, no triângulo ACE temos: x + 180 – 2x + y = 180 – x + y = 180 – 180 – x + y = 0 y = x Como y = x, o triângulo ACE é isósceles. Logo, os segmentos AE e AC são congruentes. Trocando AE por AC na razão, fica provado que: \(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\) Exemplo: Encontre o valor de x no triângulo a seguir: Analisando o triângulo, obtemos a seguinte razão: \(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\) Multiplicando de forma cruzada: 6x = 8 ⋅ 3 6x = 24 \(x=\frac{24}{6}\) x = 4 Leia também: Pontos notáveis de um triângulo — quais são eles? Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz internaQuestão 1 Analisando o triângulo a seguir, podemos afirmar que o valor de x é: A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Resolução: Aplicando o teorema da bissetriz interna, obtemos o seguinte cálculo: \(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\) Multiplicando de forma cruzada: \(27x=18\ \left(30-x\right)\) \(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \) \(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \) \(45x\ =\ 540\ \) \(x=\frac{540}{45}\) \(x\ =\ 12\) Questão 2 Analise o triângulo a seguir, sabendo que suas medidas foram dadas em centímetro. O perímetro do triângulo ABC é igual a: A) 75 cm B) 56 cm C) 48 cm D) 24 cm E) 7,5 cm Resolução: Alternativa C Aplicando o teorema da bissetriz, primeiramente encontraremos o valor de x: \(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\) \(5\ \left(4x-9\right)=2x\cdot7\) \(20x\ -\ 45\ =\ 14x\) \(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \) \(6x\ =\ 45\ \) \(x=\frac{45}{6}\) \(x\ =\ 7,5\) Assim, os lados desconhecidos medem: \(2\cdot7,5\ =\ 15\ \) \(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \) Lembrando que a medida de comprimento usada foi o cm, o perímetro desse triângulo é igual a: P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm Por Raul Rodrigues de Oliveira |
Teorema da bissetriz interna Exercícios
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