O comprimento da circunferência, também chamado de perímetro, corresponde ao tamanho da linha que forma a circunferência. Show Na figura a seguir, o comprimento é a medida da linha azul. Se pudéssemos fazer um corte nessa linha e esticá-la, o comprimento poderia ser obtido com algum instrumento de medida, uma régua, uma fita métrica, etc. Contudo, calcular o comprimento dessa forma seria impossível na maioria dos casos, por exemplo, se a circunferência é a borda de uma praça ou um pneu. Para calcular o comprimento da circunferência, utilizamos uma fórmula que só depende da medida do raio da circunferência, que é a distância da borda até o centro. Fórmula do comprimento da circunferênciaSe dividirmos o comprimento de qualquer circunferência pela medida do seu diâmetro, o resultado obtido é sempre um valor bem próximo do número . O diâmetro de uma circunferência corresponde ao segmento que passa pelo centro da figura, ligando dois pontos diferentes. Assim, a medida do diâmetro equivale ao dobro do raio. Desse modo, existe uma relação entre o comprimento da circunferência, o número e a medida do raio. Consequentemente, a fórmula do comprimento da circunferência é: Na qual: C: é o comprimento r: é o raio da circunferência Exemplo: Calcule o comprimento de uma circunferência de raio igual a 8 cm. Resolução: Temos r = 8 cm. Vamos substituir r por 8 e por 3,14 na fórmula: Como o raio foi dado em centímetros, então, a medida do comprimento também será em centímetros. Logo, o comprimento da circunferência é igual a 50,24 cm. Área da circunferênciaA área de uma figura geométrica plana corresponde à medida da sua superfície. Desse modo, calcular a área de uma circunferência corresponde a calcular a área do círculo, que é limitado por essa circunferência. Lembre-se: sempre que calcularmos a área de uma circunferência, o que estaremos calculando, na verdade, é a área de um círculo. A fórmula da área da circunferência é: Na qual: A: é a área r: é o raio da circunferência (círculo) Você também pode se interessar:
O comprimento de uma circunferência é a medida da união de todos os pontos que a formam, sendo expressa em alguma unidade de comprimento como: metro, centímetro ou milímetros, por exemplo. Um modo prático para obter este comprimento é utilizar uma fita métrica flexível ou, desfazendo a circunferência, a esticando em linha e, assim, medir seu comprimento. Como nem sempre é possível desfazer a circunferência ou utilizar uma fita métrica, obtemos esta medida através de um cálculo, utilizando uma medida mais fácil de obter: o raio. Cálculo do comprimento da circunferênciaPara calcular o comprimento de uma circunferência, multiplicamos três valores: o número natural 2, o número (pi) e a medida do raio da circunferência.Fórmula do comprimento da circunferência
Onde:
A unidade de medida é a mesma utilizada na medição do raio. Outra forma de escrever esta fórmula é substituir o 2 e o r por d, onde d é o diâmetro da circunferência.
Exemplo 1 Substituindo na fórmula com o diâmetro, temos: Portanto, o comprimento da circunferência é de 5,338 m. Exemplo 2 Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência em função do raio, temos:
Portanto, o comprimento desta circunferência é de 9,42 cm. Dedução da fórmula do comprimento da circunferênciaA fórmula para o cálculo do comprimento da circunferência vem de um fato curioso: ao dividir o comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro, sempre se obtêm o número (pi), não importa seu tamanho.
Chamando o comprimento da circunferência de C e seu diâmetro de d, temos: Isolando o comprimento da circunferência, obtemos:
Ou, como o diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, podemos substituir d por 2r, e obter a fórmula:
Leia mais sobre circunferência. ExercíciosExercício 1(Enem 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para π. a) 55,5 b) 60,0 c) 175,5 d) 235,5 e) 240,0 Resposta correta: b) 60,0. Resolução Dados: Raios de 3 e 4 metros para C2 e C1, respectivamente. = 3 Sessão de 10 voltas. Objetivo: determinar quanto C1 percorre a mais que C2 em dez voltas. Diferença = C1 - C2 Passo 1: determinar o comprimento de cada circunferência. Aplicando os dados na fórmula do comprimento da circunferência temos:
Passo 2: comprimento total percorrido em 10 voltas. C2 = 18 . 10 = 180m C1 = 24 . 10 = 240m Conclusão C1 - C2 = 240 - 180 = 60m Portanto, a criança no cavalo 1, percorrerá 60m a mais que a criança no cavalo 2. Exercício 2(Marinha 2016) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que AB= 4 cm e AC= 2√5 cm, determine a medida do comprimento da circunferência. Use a) 18,84 cm b) 12,05 cm c) 10,16 cm d) 9 cm e) 3 cm Resposta correta: a) 18,84 cm Resolução Objetivo: determinar o comprimento da circunferência. Estratégia: determinar a medida do diâmetro BC e usa-la para determinar o comprimento da circunferência. Para o cálculo do comprimento da circunferência, precisamos determinar o diâmetro ou raio. Na figura, o segmento BC é o diâmetro da circunferência e, ao mesmo tempo, a hipotenusa de do triângulo retângulo ABC. Cálculo de BC
Substituindo os valores fornecidos no enunciado,
Desta forma, o diâmetro BC é igual a 6 cm. Cálculo do comprimento da circunferência Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência temos,
Onde d é o diâmetro BC. Substituindo os valores: Conclusão Veja também:
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