A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a. Show Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados. Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver? RadiciaçãoNa raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes. A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n. Elementos da radiciaçãoA operação é representada por: radicaln→ índice a→ radicando b→ raiz Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo. Calculando a raiz quadradaO cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a. Tipos de raiz quadradaUma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional. Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando. Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir. Calcule a raiz quadrada de 3600. Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada. Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical. Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100. Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos. Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49. Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40. 6,1² = 37,21 6,2²= 38,44 6,3²=39,69 6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação. Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata. Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver Interpretação geométrica da raiz quadradaAlguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m². Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área. O lado do quadrado é de 13 metros. A raiz quadrada é um tipo específico de radiciação.Exercícios resolvidosQuestão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72? A) 8,1 B) 8,2 C) 8,3 D) 8,4 E) 8,5 Resolução Alternativa D. Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que: 8,1²= 65,61 8,2²= 67,24 8,3²= 68,89 8,4²= 70,56 8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4. Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata? Resolução Alternativa C. a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121. b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69. c) Não possui raiz exata d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½. e) Possui raiz exata igual a 1.
NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais: 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.RAIZ QUADRADA APROXIMADA Vamos calcular a raiz quadrada do número 23. Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25 Veja: 16 é menor 23 é menor 25. Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25. 4 é menor que √23 é menor que 5. Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23. E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23 1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8) c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15) 2) Calcule a) √1 + √0 = (R: 1) b) √64 - √49 = ( R: 1) c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3) e) -3 + √16 = ( R: 1) f) -5 - √36 = (R: -11) g) 3√16 – 9 = (R: 3) 3) Calcule a) √81 = (R: 9) b) √36 = (R: 6) c) √144 = (R: 12) d) √196 = (R: 14) e) √1600 = (R: 40) f) √100 = (R:10) g) -√100 = (R: -10) h) √121 = (R: 11) i) -√121 = (R: -11) j) √400 = (R: 20) k) -√400 = (R: -20) l) √4/9 = (R: 2/3) m) √1/16 = ( R: 1/4) n) √64/81 = (R: 8/9) o) √49/25 = (R: 7/5) 4) Calcule a) 10.√4 = (R: 20) b) 3 + √25 = (R: 8) c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3) d) √81-√9 = ( R: 6) e) √100 - √25 = (R: 5) f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6) g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5) 5) Se √x = 30, então o valor de x é: a) 60 b) 90 c) 600 d) 900 (X) 6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é: a) 1/4 b) 3/2c) 1/2 (X)d) 3/4 7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é: a) 42 b) 51c) 50 (x)d) 38
Estudando matemática para concursos? Veja aqui tudo o que você precisa saber sobre a raiz quadrada de um número. Não deixe de ver nossas outras publicações sobre potenciação e radiciação. Bom estudo! DEFINIÇÃO Calcular a raiz quadrada de um número x é descobrir o número que elevado ao quadrado seja igual a x. Veja:
Obs: Como o quadrado de um número é sempre positivo, podemos concluir que não existe raiz quadrada de um número negativo. SIMBOLOGIA O símbolo utilizado para representar raiz quadrada é o √. Veja: COMO CALCULAR A técnica mais utilizada para o cálculo da raiz quadrada de um número natural é a fatoração em números primos. Um número terá raiz quadrada exata sempre que possuir uma quantidade par para cada um dos termos de sua decomposição. Veja:
625 = 54 √625 = √54 = 5² = 25
1024 = 210 √1024 = √210 = 25 = 32
36 = 2².3² √36 = √(2².3²) = 6
90 = 2.3².5 √90 = √(2.3².5) = 3.√10 QUADRADOS PERFEITOS Todo número natural que possui raiz quadrada exata é chamado de quadrado perfeito. Abaixo temos a lista dos quadrados perfeitos de 1 a 1000. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64,81, 100,121,144,169,196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, e 900 RAIZ QUADRADA DOS 10 PRIMEIROS NÚMEROS NATURAIS
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