Olá amigos estudantes! Vamos aprender a calcular o determinante de uma matriz 2×2? Show O processo é muito simples, mas é importante que o aluno já tenha conhecimento prévio sobre matrizes. Bom estudo! COMO CALCULAR Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, ou seja, uma matriz com duas linhas e duas colunas. O determinante de A será representado da seguinte forma: Podemos calcular o determinante de uma matriz 2×2 subtraindo o produto da diagonal principal pelo produto da diagonal secundária. Veja: detA = a11.a22 – a21.a12 Exemplo 1: Calcular o determinante da matriz 2×2 abaixo: detA = 1.4 – 3.5 = 4 – 15 = -11 Exemplo 2: Calcular o determinante da matriz 2×2 abaixo: detA = 10.(-1) – 3.2 = -10 – 6 = -16 Exemplo 3: Calcular o determinante da matriz 2×2 abaixo: detA = -1,5.(-1) – 0,5.2 = 1,5 – 1 = 0,5 O determinante de uma matriz possui várias aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física, como no estudo de campos elétricos. Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante. No entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de matrizes 3x3. Leia também: Processo para resolução de um sistema linear m x n  Determinante de matriz de ordem 1Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo. A = (a11) det(A) = | a11 | = a11 Exemplo: A = [2] det(A) = |2| = 2 Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas conhecer o seu único elemento. A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária. Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será: Exemplo: Determinante de matriz de ordem 3A matriz de ordem três é mais trabalhosa para obter-se o determinante do que as anteriores, na verdade, quanto maior a ordem de uma matriz, mais difícil será esse trabalho. Nela é necessário utilizar o que conhecemos como regra de Sarrus. A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, conforme o exemplo a seguir. Agora vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária. Exemplo: Veja também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes Propriedades do determinanteCaso uma das linhas da matriz seja igual a 0, então o seu determinante será igual a 0. Exemplo: Seja A e B duas matrizes, det(A·B) = det(A) · det(B). Exemplo: Calculando os determinantes separados, temos que: det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3 det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2) Então det(A) · det(B) = -27 · 8 = -216 Agora vamos calcular det(A·B) Seja A uma matriz e A’ uma nova matriz construída trocando-se as linhas da matriz A, então det(A’) = -det(A), ou seja, ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém de sinal trocado. Exemplo: Linhas iguais ou proporcionais fazem com que o determinante da matriz seja igual a 0. Exemplo: Note que, na matriz A, os termos da linha dois são o dobro dos termos da linha um. Acesse também: Aplicação das matrizes nos vestibulares Exercícios resolvidosQuestão 1 - (Vunesp) Considerando as matrizes A e B, determine o valor de det(A·B): a) -1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 Resolução Alternativa E Sabemos que det(A·B) = det(A) · det(B): det(A) = 1· 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2 Então temos que: det(A·B) = det(A) · det(B) det(A·B) = -2 (-7) = 14 Questão 2 - Dada a matriz A, qual deve ser o valor de x para que det(A) seja igual a 0? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/9 d) 3 Resolução Alternativa B Calculando o determinante de A, temos que: Por Raul Rodrigues de Oliveira
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Adição e Subtração de Matrizes e veja a resolução comentada.
Dadas as matrizes
Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por aij, onde: i + j, se i ≠ j Determine M + M.
(PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.
(PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A.
Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B.
Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.
Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:
Considerando as matrizes: Determine: a) A + B – C
2z + z = 18 3z = 18 z = 18/3
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Matriz quadrada de ordem 2 exercícios resolvidos
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