Progressão geométrica é uma sequência onde, a partir do, 2º termo, todo termo é igual ao anterior vezes um número fixo. Show Esse número fico é chamado de razão "q". Termo Geral O termo geral de uma P.G. é dado por: aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 Clique para ver a Demonstração Pela definição, os termos de uma progressão geométrica são: aₙ = an – 1 ⋅ q = a₁ ⋅ qn – 2 ⋅ q = a₁ ⋅ qn – 1 Obtenção da razão A razão é igual ao quociente entre dois termos subsequentes quaisquer: q = = = = . . . =Classificação Se q < 0 a P.G. é oscilante. Se q = 1 a P.G. é constante. Se 0 < q < 1 e os termos positivos, ou, se q > 1 e os termos negativos, a P.G. é decrescente. Se 0 < q < 1 e os termos negativos, ou, se q > 1 e os termos positivos, a P.G. é crescente. Propriedades de uma P.G. finitaP1) A produto de dois termos equidistantes dos extremos, é igual ao produto dos extremos. Exemplo: Numa P.G. de 10 termos:a₂ ⋅ a₉ = a₃ ⋅ a₈ = a₄ ⋅ a₇ = a₅ ⋅ a₆ = a₁ ⋅ a₁₀ Observação: Caso tenha uma quantidade ímpar, por exemplo 5, tería-se:a₁ ⋅ a₅ = a₂ ⋅ a₄ = a₃ ⋅ a₃ P2) Qualquer termo é igual a média geométrica entre: o anterior e o posterior.Exemplo: a₃ = √a₂ ⋅ a₄ Escolha de termos em P.G.A melhor escolha de três elementos em P.G. é tal que: os termos fiquem dispostos em: , x , x ⋅ q (onde "x" é o elemento central e "q" a razão) No caso de cinco termos em P.G. tería-se como melhor escolha: , , x , x ⋅ q , x ⋅ q2 Para escolher quatro elementos em P.G., pode-se ter: , x , x ⋅ q , x ⋅ q2 Soma dos "n" primeiros termos de uma P.G.A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. com q ≠ 1 é: Sₙ = Clique para ver a Demonstração Sₙ = a₁ + a₂ + . . . + aₙ ₋ ₁ + aₙ Sₙ – q ⋅ Sₙ = (a₁ – q ⋅ a₁) + (a₂ – q ⋅ a₂) + . . . + (aₙ ₋ ₁ – q ⋅ aₙ ₋ ₁) + (aₙ – q ⋅ aₙ) Sₙ – q ⋅ Sₙ = (a₁ – q ⋅ a₁) + (a₁ ⋅ q – q ⋅ a₁ ⋅ q) + . . . + (a₁ ⋅ qn – 2 – q ⋅ a₁ ⋅ qn – 2) + (a₁ ⋅ qn – 1 – q ⋅ a₁ ⋅ qn – 1) Sₙ ⋅ (1 – q) = (a₁ – a₁ ⋅ q) + (a₁ ⋅ q – a₁ ⋅ q2) + . . . + (a₁ ⋅ qn – 2 – a₁ ⋅ qn – 1) + (a₁ ⋅ qn – 1 – a₁ ⋅ qn) Sₙ ⋅ (1 – q) = a₁ – a₁ ⋅ q + a₁ ⋅ q – a₁ ⋅ q2 + . . . + a₁ ⋅ n – 2 – a₁ ⋅ qn – 1 + a₁ ⋅ qn – 1 – a₁ ⋅ qn Sₙ ⋅ (1 – q) = a₁ – a₁ ⋅ qn (multiplicando por – 1) Sₙ ⋅ (q – 1) = a₁ ⋅ qn – a₁ Sₙ ⋅ (q – 1) = a₁ ⋅ (qn – 1) Portanto: A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. onde q ≠ 1 é:Sₙ = Produto dos "n" primeiros termos de uma P.G.O produto dos termos de uma P.G. é dado por: Modo 1: P = (a₁)n ⋅ q Clique para ver a Demonstração P = a₁ ⋅ a₂ ⋅ a₃ ⋅ . . . ⋅ aₙ ₋ ₂ ⋅ aₙ ₋ ₁ ⋅ aₙ P = (a₁) ⋅ (a₁ ⋅ q) ⋅ (a₁ ⋅ q2) ⋅ . . . ⋅ (a₁ ⋅ qn – 3) ⋅ (a₁ ⋅ qn – 2) ⋅ (a₁ ⋅ qn – 1) P = (a₁ ⋅ a₁ ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁ ⋅ q ⋅ a₁ ⋅ qn – 2) ⋅ (a₁ ⋅ q2 ⋅ a₁ ⋅ qn – 3) ⋅ . . . Agrupando o 1º e o último, o 2º e o penúltimo, o 3º e o antepenúltimo, etc.:P = (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ . . . Agrupados dois em dois terá a metade dos "n" elementos:P = (a₁2 ⋅ qn – 1) P = (a₁2) ⋅ (qn – 1) P = (a₁)n ⋅ q Modo 2: | P | = Clique para ver a Demonstração P = a₁ ⋅ a₂ ⋅ a₃ ⋅ . . . ⋅ aₙ ₋ ₂ ⋅ aₙ ₋ ₁ ⋅ aₙ P ⋅ P = (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₂ ⋅ aₙ ₋ ₁) ⋅ (a₃ ⋅ aₙ ₋ ₂) ⋅ . . . ⋅ (aₙ ₋ ₂ ⋅ a₃) ⋅ (aₙ ₋ ₁ ⋅ a₂) ⋅ (aₙ ⋅ a₁) P2 = (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ . . . ⋅ (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₁ ⋅ aₙ) P2 = (a₁ ⋅ aₙ)n | P | = Soma dos termos de uma P.G. infinita com q < 1A soma de todos os termos de uma P.G. infinita de razão q < 1 é dada por: S ∞ = Clique para ver a Demonstração A soma dos "n" primeiros termos da P.G. é dada por: qn tende a zero. Daí:Sn = S ∞ = S ∞ = S ∞ = S ∞ = S ∞ = Exercícios ResolvidosR01 — Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a₂ = 6 e q = – 3. Como a₂ = a₁ ⋅ q tem-se: 6 = a₁ ⋅ (– 3) = a₁ – 2 = a₁ a₃ = a₂ ⋅ q a₃ = 6 ⋅ (– 3) a₃ = – 18 a₄ = a₃ ⋅ q a₄ = – 18 ⋅ (– 3) a₄ = 54 Portanto, a P.G. é (– 2, 6, – 18, 54). R02 — Encontre o 8° termo da sequência 2, – 6, 18, . . . , aₙ , . . . Não foi dito se está em P.G., então primeiro deve-se testar, isto é: = – = – 3 = = – 3 Portanto, está em P.G. e a razão é q = – 3 aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 a₈ = a₁ ⋅ q8 – 1 a₈ = a₁ ⋅ q7 a₈ = 2 ⋅ (– 3)7 a₈ = 2 ⋅ (– 2187) a₈ = – 4374 Portanto, o oitavo termo é – 4374. R03 — Numa P.G. tem-se a₁ = 3 e a₈ = 384. Calcule: a) Como aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 128 = q7 = q = q 2 = q Portanto, a razão é q = 2 b) Como a₄ = a₁ ⋅ q3 a₄ = 3 ⋅ 23 a₄ = 3 ⋅ 8 a₄ = 24 Portanto, o quarto termo é 24. R04 — Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem. Neste caso a sequência é: 2, ___ , ___ , ___ , ___ , 486 Totalizando 6 termos em P.G. (4 meios geométricos mais os extremos) aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 486 = 2 ⋅ q6 – 1 = q5 243 = q5 = q = q 3 = q Logo, a razão é 3, daí: a₂ = a₁ ⋅ q a₂ = 2 ⋅ 3 = 6 a₃ = a₂ ⋅ q a₃ = 6 ⋅ 3 = 18 a₄ = a₃ ⋅ q a₄ = 18 ⋅ 3 = 54 a₅ = a₄ ⋅ q a₅ = 54 ⋅ 3 = 162 a₆ = a₅ ⋅ q a₆ = 162 ⋅ 3 = 486 Portanto, a sequência é: (2, 6, 18, 54, 162, 486) R05 — Determine a sequência de três termos em P.G. sabendo que o, produto de seus elementos é 216, e que o primeiro, é igual a nona parte do terceiro. A escolha de três elementos em P.G. deve ser: ( ) ⋅ x ⋅ (x ⋅ q) = 216x3 = 216 x = 216 x = 6 Logo, o segundo termo é x = 6O primeiro é e o terceiro é 6 ⋅ q Como nove vezes o primeiro é igual ao terceiro tem-se:9 ⋅ = 6 ⋅ q (multiplicando tudo por q) 9 ⋅ 6 = 6 ⋅ q ⋅ q (dividindo tudo por 6)9 = q2 ± √9 = q ± 3 = q Daí: q = 3 ou q = – 3 Para q = 3 tem-se: a₁ = = 2a₂ = 6 a₃ = 6 ⋅ 3 = 18 Para q = – 3 tem-se: a₁ = = – 2a₂ = 6 a₃ = 6 ⋅ (– 3) = – 18 Assim os três elementos são: 2, 6, 18 ou – 2, 6, – 18. R06 — Sabendo-se que x – 4, 2 x + 4 e 10 x – 4, são termos consecutivos de uma P.G. Calcule x de modo que eles sejam positivos. Se está em P.G. então: = (2 x + 4) ⋅ (2 x + 4) = (10 x – 4) ⋅ (x – 4) (2x + 4)2 = 10 x2 – 40 x – 4 x + 16 4 x2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 4 + 16 = 102 – 44 x + 16 4 x2 + 16 x + 16 = 102 – 44 x + 16 4 x2 + 16 x + 16 – 102 + 44 x – 16 = 0 – 6 x2 + 60 x = 0 – 6 x (x – 10) = 0 – 6 x = 0 ou (x – 10) = 0 x = 0 ou x = 10 Se x = 0 a sequência é (– 4, 4, – 4) Não serve, pois os termos não são positivos. Se x = 10 a sequência é: (10 – 4, 2 ⋅ 10 + 4, 10 ⋅ 10 – 4) = (6, 24, 96) Portanto, x = 10 R07 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor 3072, aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 512 = 2n – 1 29 = 2n – 1 (equação exponencial) 9 = n – 1 9 + 1 = n 10 = n Portanto, 3072 é o 10° termo. R08 — Qual o primeiro termo da P.G. em que a₃ = 10 e a₆ = 80? a₃ = a₁ ⋅ q2 a₆ = a₁ ⋅ q5 80 = a₁ ⋅ q5 80 = (a₁ ⋅ q2) ⋅ q3 80 = 10 ⋅ q3 = q3 8 = q3 = q = q Logo, a razão é q = 2 Como a₁ ⋅ q2 = 10 tem-se: a₁ ⋅ 22 = 10 a₁ ⋅ 4 = 10 a₁ = a₁ = Portanto, o primeiro termo é R09 — Se em uma P.G., a₃ + a₅ vale 90 e a₄ + a₆ vale 270, então a razão vale: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 a₃ = a₁ ⋅ q2 a₅ = a₁ ⋅ q4 a₄ = a₁ ⋅ q3 a₆ = a₁ ⋅ q5 a₃ + a₅ = a₁ ⋅ q2 + a₁ ⋅ q4 90 = a₁ ⋅ q2 ⋅ (1 + q2) (I) a₄ + a₆ = a₁ ⋅ q3 + a₁ ⋅ q5 270 = a₁ ⋅ q3 ⋅ (1 + q2) 270 = a₁ ⋅ q2 ⋅ q ⋅ (1 + q2) (II) Dividindo (II) por (I) tem-se: 3 = qAlternativa "c". R10 — Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. : Calculando a razão: q = q = – 2 Calculando a soma:Sₙ = S10 = S10 = S10 = (simplificando 1023 por – 3) S10 = – 8 ⋅ (– 341) S10 = 2728 Portanto, o 10º termo é 2728. R11 — Numa P.G. a soma é S8 = 1530 e a razão q = 2. Calcule o quinto termo. Neste caso: Sₙ = 1530 = 1530 = 1530 = a₁ ⋅ 255 = a₁ 6 = a₁ Logo, o primeiro termo é a₁ = 6 a₅ = a₁ ⋅ 24 a₅ = 6 ⋅ 24 a₅ = 6 ⋅ 16 a₅ = 96 Portanto, o quinto termo é 96. R12 — Calcule a soma: 8 + 16 + 32 + . . . + 32768. A razão é: q = q = 2 aₙ = a₁ ⋅ qn – 1 32768 = 8 ⋅ 2n – 1 = 2n – 1 4096 = 2n – 1 212 = 2n – 1 (equação exponencial) 12 = n – 1 12 + 1 = n 13 = n Logo, n = 13 Sₙ = S13 = S13 = S13 = 8 ⋅ 8191 S13 = 65528 R13 — Determine a soma dos termos da P.G. infinita (9, 3, 1, . . . ). Encontrando a razão: q = q = S∞ = S∞ = S∞ = S∞ = 9 ⋅ S∞ = Exercícios PropostosP01 — Encontre o 8° termo da sequência: (5, 10, 20, . . . ) P02 — Qual o primeiro termo da P.G. em que: a₃ = 24 e a₇ = 384? P03 — Qual o primeiro termo da P.G. em que: a₃ = 12 e a₇ = 192? P04 — Obtenha o valor de x sabendo que a sequência: P05 — Determine o primeiro termo da P.G. em que: P06 — A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o produto, 216. P07 — Quantos termos tem a P.G. (3, 6, 12, . . . , 3072)? P08 — Insira sete meios geométricos entre 3 e 768. P09 — Determine o valor de x para que: P10 — O preço de certa mercadoria aumenta anualmente em 100%. Se o preço atual é de R$ 100,00, daqui a três anos, o preço será: a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) n.d.a P11 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor 13122 na P.G. onde: P12 — O número de termos da P.G. ( , , 1, . . . , 729) é:a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 P13 — (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a₃ = 40 e a₆ = – 320. A soma dos oito primeiros termos é: a) – 1700 b) – 850 c) 850 d) 1700 e) 750 P14 — Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3 x, . . . ) é uma P.G. crescente. P15 — Qual é o valor de x na P.G. (x – 40, x, x + 200)? P16 — Qual o produto dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 4, . . . )? P17 — O produto dos 8 termos de uma P.G. é igual a 4096. Qual é o quinto termo? P18 — O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se inicialmente existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número será: a) 27 b) 28 c) 210 d) 212 e) 215 P19 — Qual é a soma dos termos da P.G. (1, 3, 9, . . . , 6561)? P20 — Encontre a soma dos 9 primeiros termos da P.G. 4, 12, . . . , aₙ. P21 — O sétimo termo de uma P.G. é igual a 1458 e o nono é igual a 13122. P22 — Quanto é a soma dos termos da P.G. em que o 1º termo é e o nono é 64? P23 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é 32 e o primeiro termo, 16. P24 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é 8 e a razão é . Obtenha o a₃.P25 — O 1º membro da equação: x + + + . . . = 8 é uma P.G. infinita.Calcule o valor de x. P26 — Uma bola elástica cai de uma altura de 4 metros, e cada vez que bate no chão, P27 — A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 81 e, a soma dos termos de ordem par é 27. O primeiro termo dessa progressão é: a) 9 b) 18 c) 54 d) 72 e) 81 P28 — Resolva a equação: x + + + . . . = 20. P29 — O 1º termo e a soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita são, P30 — A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é 128 e a razão é .Calcule o segundo termo. |