O que é comparado ao pêndulo relógio de

Um pêndulo é um peso suspenso por um pivô para que possa oscilar livremente. [1] Quando um pêndulo é deslocado lateralmente de sua posição de repouso e equilíbrio , ele está sujeito a uma força restauradora devido à gravidade que o acelera de volta à posição de equilíbrio. Quando liberada, a força restauradora que atua sobre a massa do pêndulo faz com que ele oscile em torno da posição de equilíbrio, balançando para frente e para trás. O tempo para um ciclo completo, um movimento para a esquerda e outro para a direita, é denominado período . O período depende do comprimento do pêndulo e também, em certa medida, da amplitude, a largura da oscilação do pêndulo.

Desde as primeiras investigações científicas do pêndulo por volta de 1602 por Galileo Galilei , o movimento regular dos pêndulos foi usado para cronometragem e foi a tecnologia de cronometragem mais precisa do mundo até a década de 1930. [2] O relógio de pêndulo inventado por Christiaan Huygens em 1658 se tornou o cronometrista padrão do mundo, usado em residências e escritórios por 270 anos, e alcançou precisão de cerca de um segundo por ano antes de ser substituído como um padrão de tempo pelo relógio de quartzo no 1930. Os pêndulos também são usados ​​em instrumentos científicos , como acelerômetros e sismômetros . Historicamente, eles foram usados ​​como gravímetros para medir a aceleração da gravidade em levantamentos geofísicos e até mesmo como um padrão de comprimento. A palavra "pêndulo" é um novo latim , do latim pendulus , que significa "pendurado". [3]

O pêndulo gravitacional simples [4] é um modelo matemático idealizado de um pêndulo. [5] [6] [7] Este é um peso (ou prumo ) na extremidade de uma corda sem massa suspensa por um pivô , sem atrito . Quando for dado um empurrão inicial, ele oscilará para frente e para trás em uma amplitude constante . Os pêndulos reais estão sujeitos à fricção e resistência do ar , de modo que a amplitude de suas oscilações diminui.

O período de um pêndulo fica mais longo à medida que a amplitude θ 0 (largura de oscilação) aumenta.

O período de oscilação de um pêndulo de gravidade simples depende de seu comprimento , da força local da gravidade e, em pequena medida, do ângulo máximo que o pêndulo oscila em relação à vertical, θ 0 , denominado amplitude . [8] É independente da massa do pêndulo. Se a amplitude é limitada a pequenas oscilações, [Nota 1] o período T de um pêndulo simples, o tempo necessário para um ciclo completo, é: [9]

Onde eu {\ displaystyle L} é o comprimento do pêndulo e g {\ displaystyle g} é a aceleração local da gravidade .

Para pequenas oscilações, o período de oscilação é aproximadamente o mesmo para oscilações de tamanhos diferentes: ou seja, o período é independente da amplitude . Essa propriedade, chamada de isocronismo , é a razão pela qual os pêndulos são tão úteis para a medição do tempo. [10] As oscilações sucessivas do pêndulo, mesmo se mudando em amplitude, levam a mesma quantidade de tempo.

Para amplitudes maiores , o período aumenta gradualmente com a amplitude, por isso é mais longo do que o dado pela equação (1). Por exemplo, em uma amplitude de θ 0 = 0,4 radianos (23 °), é 1% maior do que o dado por (1). O período aumenta assintoticamente (até o infinito) conforme θ 0 se aproxima π {\ displaystyle \ pi} radianos (180 °), porque o valor θ 0 = π {\ displaystyle \ pi} é um ponto de equilíbrio instável para o pêndulo. O período verdadeiro de um pêndulo de gravidade simples ideal pode ser escrito em várias formas diferentes (ver Pendulum (matemática) ), um exemplo sendo a série infinita : [11] [12]

Onde θ 0 {\ displaystyle \ theta _ {0}} está em radianos.

A diferença entre este período verdadeiro e o período para pequenas oscilações (1) acima é chamada de erro circular . No caso de um relógio de pêndulo típico cujo pêndulo tem uma oscilação de 6 ° e, portanto, uma amplitude de 3 ° (0,05 radianos), a diferença entre o período verdadeiro e a aproximação de pequeno ângulo (1) é de cerca de 15 segundos por dia.

Para pequenas oscilações, o pêndulo se aproxima de um oscilador harmônico , e seu movimento em função do tempo, t , é aproximadamente um movimento harmônico simples : [5]

Onde φ {\ displaystyle \ varphi} é um valor constante, dependente das condições iniciais .

Para pêndulos reais, o período varia ligeiramente com fatores como a flutuabilidade e resistência viscosa do ar, a massa da corda ou haste, o tamanho e a forma do pêndulo e como ele está preso à corda, e flexibilidade e alongamento de a corda. [11] [13] Em aplicações de precisão, as correções para esses fatores podem precisar ser aplicadas à eq. (1) para fornecer o período com precisão.

Qualquer corpo rígido oscilante livre para girar em torno de um eixo horizontal fixo é chamado de pêndulo composto ou pêndulo físico . O comprimento equivalente apropriado eu e q {\ displaystyle L_ {eq} \;} para calcular o período de qualquer pêndulo, é a distância do pivô ao centro de oscilação . [14] Este ponto está localizado sob o centro de massa a uma distância do pivô tradicionalmente chamado de raio de oscilação, que depende da distribuição de massa do pêndulo. Se a maior parte da massa estiver concentrada em um rolo relativamente pequeno em comparação com o comprimento do pêndulo, o centro de oscilação estará próximo ao centro de massa. [15]

O raio de oscilação ou comprimento equivalente eu e q {\ displaystyle L_ {eq} \;} de qualquer pêndulo físico pode ser mostrado para ser

Onde eu {\ displaystyle I \;} é o momento de inércia do pêndulo sobre o ponto pivô, m {\ displaystyle m \;} é a massa do pêndulo, e R {\ displaystyle R \;} é a distância entre o ponto de pivô e o centro de massa . Substituindo esta expressão em (1) acima, o ponto final T {\ displaystyle T \;} de um pêndulo composto é dado por

para oscilações suficientemente pequenas. [16]

Por exemplo, uma haste rígida e uniforme de comprimento eu {\ displaystyle L \;} girado em torno de uma extremidade tem momento de inércia eu = m eu 2 / 3 {\ displaystyle I = mL ^ {2} / 3 \;} . O centro de massa está localizado no centro da haste, então R = eu / 2 {\ displaystyle R = L / 2 \;} Substituir esses valores na equação acima dá T = 2 π 2 eu / 3 g {\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {2L / 3g}} \;} . Isso mostra que um pêndulo de haste rígida tem o mesmo período de um pêndulo simples de 2/3 de seu comprimento.

Christiaan Huygens provou em 1673 que o ponto de pivô e o centro de oscilação são intercambiáveis. [17] Isso significa que se qualquer pêndulo for virado de cabeça para baixo e girado a partir de um pivô localizado em seu centro de oscilação anterior, ele terá o mesmo período de antes e o novo centro de oscilação estará no ponto de pivô antigo. Em 1817, Henry Kater usou essa ideia para produzir um tipo de pêndulo reversível, agora conhecido como pêndulo de Kater , para medições aprimoradas da aceleração da gravidade.

Réplica de Zhang Heng 's sismómetro . O pêndulo está contido dentro.

Um dos primeiros usos conhecidos de um pêndulo foi um dispositivo sismômetro do século 1 do cientista chinês da dinastia Han Zhang Heng . [18] Sua função era balançar e ativar uma de uma série de alavancas após ser perturbado pelo tremor de um terremoto distante. [19] Liberada por uma alavanca, uma pequena bola cairia do dispositivo em forma de urna em uma das oito bocas de sapo de metal abaixo, nos oito pontos da bússola, significando a direção em que o terremoto foi localizado. [19]

Muitas fontes [20] [21] [22] [23] afirmam que o astrônomo egípcio do século 10, Ibn Yunus, usava um pêndulo para medir o tempo, mas este foi um erro que se originou em 1684 com o historiador britânico Edward Bernard . [24] [25] [26]

Durante a Renascença , grandes pêndulos movidos à mão foram usados ​​como fontes de energia para máquinas manuais alternativas, como serras, foles e bombas. [27] Leonardo da Vinci fez muitos desenhos do movimento dos pêndulos, embora sem perceber seu valor para a cronometragem.

1602: Pesquisa de Galileu

O cientista italiano Galileo Galilei foi o primeiro a estudar as propriedades dos pêndulos, começando por volta de 1602. [28] O relato mais antigo de sua pesquisa está contido em uma carta a Guido Ubaldo dal Monte, de Pádua, datada de 29 de novembro de 1602. [29] ] seu biógrafo e aluno, Vincenzo Viviani , alegou que seu interesse tinha sido provocada volta de 1582 pelo movimento oscilante de um candelabro na Catedral de Pisa . [30] [31] Galileu descobriu a propriedade crucial que torna os pêndulos úteis como cronômetros, chamada isocronismo; o período do pêndulo é aproximadamente independente da amplitude ou largura da oscilação. [32] Ele também descobriu que o período é independente da massa do pêndulo e proporcional à raiz quadrada do comprimento do pêndulo. Ele primeiro empregou pêndulos de giro livre em aplicações de cronometragem simples. Seu amigo médico, Santorio Santorii , inventou um dispositivo que media o pulso de um paciente pelo comprimento de um pêndulo; o pulsilogium . [28] Em 1641 Galileu ditou a seu filho Vincenzo um projeto para um relógio de pêndulo; [32] Vincenzo começou a construção, mas não a havia concluído quando morreu em 1649. [33] O pêndulo foi o primeiro oscilador harmônico usado pelo homem. [32] [ esclarecimento necessário ]

1656: O relógio de pêndulo

O primeiro relógio de pêndulo

Em 1656, o cientista holandês Christiaan Huygens construiu o primeiro relógio de pêndulo . [34] Esta foi uma grande melhoria em relação aos relógios mecânicos existentes; sua melhor precisão foi melhorada de cerca de 15 minutos de desvio por dia para cerca de 15 segundos por dia. [35] Pêndulos se espalharam pela Europa à medida que os relógios existentes foram adaptados com eles. [36]

O cientista inglês Robert Hooke estudou o pêndulo cônico por volta de 1666, consistindo em um pêndulo que é livre para oscilar em duas dimensões, com o pêndulo girando em um círculo ou elipse. [37] Ele usou os movimentos deste dispositivo como modelo para analisar os movimentos orbitais dos planetas . [38] Hooke sugeriu a Isaac Newton em 1679 que os componentes do movimento orbital consistiam em movimento inercial ao longo de uma direção tangente mais um movimento atraente na direção radial. Isso desempenhou um papel na formulação de Newton da lei da gravitação universal . [39] [40] Robert Hooke também foi responsável por sugerir já em 1666 que o pêndulo poderia ser usado para medir a força da gravidade. [37]

Durante sua expedição a Caiena , Guiana Francesa em 1671, Jean Richer descobriu que um relógio de pêndulo tinha 2+1 ⁄ 2 minutos por dia mais lento em Caiena do que em Paris. Disto ele deduziu que a força da gravidade era menor em Caiena. [41] [42] Em 1687, Isaac Newton em Principia Mathematica mostrou que isso acontecia porque a Terra não era uma esfera verdadeira, mas ligeiramente achatada (achatada nos pólos) devido ao efeito da força centrífuga devido à sua rotação, fazendo com que a gravidade aumentasse com latitude . [43] Pêndulos portáteis começaram a ser usados ​​em viagens a terras distantes, como gravímetros de precisãopara medir a aceleração da gravidade em diferentes pontos da Terra, resultando em modelos precisos da forma da Terra . [44]

1673: Huygens ' Horologium Oscillatorium

Em 1673, 17 anos após ter inventado o relógio de pêndulo, Christiaan Huygens publicou sua teoria do pêndulo, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum . [45] [46] Marin Mersenne e René Descartes descobriram por volta de 1636 que o pêndulo não era totalmente isócrono; seu período aumentou um pouco com sua amplitude. [47] Huygens analisou este problema determinando qual curva um objeto deve seguir para descer pela gravidade ao mesmo ponto no mesmo intervalo de tempo, independentemente do ponto de partida; a chamada curva tautócrona . Por um método complicado que foi um uso precoce do cálculo , ele mostrou que essa curva era uma ciclóide , em vez do arco circular de um pêndulo, [48] confirmando que o pêndulo não era isócrono e a observação de isocronismo de Galileu era precisa apenas para pequenas oscilações . [49] Huygens também resolveu o problema de como calcular o período de um pêndulo de formato arbitrário (chamado de pêndulo composto ), descobrindo o centro de oscilação e sua intercambiabilidade com o ponto de pivô. [50]

O movimento do relógio existente, o escape de borda , fazia os pêndulos oscilarem em arcos muito largos de cerca de 100 °. [51] Huygens mostrou que isso era uma fonte de imprecisão, fazendo com que o período variasse com mudanças de amplitude causadas por pequenas variações inevitáveis ​​na força motriz do relógio. [52] Para tornar seu período isócrono, Huygens montou "costeletas" de metal em forma cicloidal ao lado dos pivôs em seus relógios, que restringiam o cordão de suspensão e forçavam o pêndulo a seguir um arco ciclóide (ver pêndulo cicloidal ). [53] Esta solução não se mostrou tão prática quanto simplesmente limitar a oscilação do pêndulo a pequenos ângulos de alguns graus. A constatação de que apenas pequenas oscilações eram isócronas motivou o desenvolvimento do escapamento da âncora por volta de 1670, que reduziu a oscilação do pêndulo nos relógios para 4 ° –6 °. [51] [54]

1721: pêndulos com compensação de temperatura

O pêndulo de Foucault em 1851 foi a primeira demonstração da rotação da Terra que não envolvia observações celestes e criou uma "mania de pêndulo". Nesta animação, a taxa de precessão é muito exagerada.

Durante os séculos 18 e 19, o papel do relógio de pêndulo como o cronometrista mais preciso motivou muitas pesquisas práticas para melhorar os pêndulos. Verificou-se que uma das principais fontes de erro era que a haste do pêndulo se expandia e contraía com as mudanças na temperatura ambiente, alterando o período de oscilação. [8] [55] Isso foi resolvido com a invenção de pêndulos com compensação de temperatura, o pêndulo de mercúrio em 1721 [56] e o pêndulo de grade em 1726, reduzindo os erros em relógios de pêndulo de precisão a alguns segundos por semana. [53]

A precisão das medidas de gravidade feitas com pêndulos era limitada pela dificuldade de encontrar a localização de seu centro de oscilação . Huygens descobriu em 1673 que um pêndulo tem o mesmo período quando pendurado em seu centro de oscilação e quando pendurado em seu pivô, [17] e a distância entre os dois pontos era igual ao comprimento de um pêndulo de gravidade simples do mesmo período. . [14] Em 1818, o capitão britânico Henry Kater inventou o pêndulo de Kater reversível [57] que usava este princípio, tornando possível medições muito precisas da gravidade. No século seguinte, o pêndulo reversível foi o método padrão de medição da aceleração gravitacional absoluta.

1851: pêndulo de Foucault

Em 1851, Jean Bernard Léon Foucault mostrou que o plano de oscilação de um pêndulo, como um giroscópio , tende a se manter constante independentemente do movimento do pivô, e que isso poderia ser usado para demonstrar a rotação da Terra . Ele suspendeu um pêndulo livre para oscilar em duas dimensões (mais tarde denominado pêndulo de Foucault ) na cúpula do Panteão em Paris. O comprimento do cabo era de 67 m (220 pés). Uma vez que o pêndulo foi colocado em movimento, o plano de oscilação foi observado em precessão ou girando 360 ° no sentido horário em cerca de 32 horas. [58] Esta foi a primeira demonstração da rotação da Terra que não dependia de observações celestes, [59] e uma "mania do pêndulo" estourou, pois os pêndulos de Foucault foram exibidos em muitas cidades e atraíram grandes multidões. [60] [61]

1930: Declínio no uso

Por volta de 1900, materiais de baixa expansão térmica começaram a ser usados ​​para hastes de pêndulo nos relógios de maior precisão e outros instrumentos, primeiro invar , uma liga de aço de níquel e, posteriormente , quartzo fundido , o que tornou a compensação de temperatura trivial. [62] Os pêndulos de precisão eram alojados em tanques de baixa pressão, que mantinham a pressão do ar constante para evitar mudanças no período devido às mudanças na flutuabilidade do pêndulo devido à mudança da pressão atmosférica . [62] Os melhores relógios de pêndulo alcançaram uma precisão de cerca de um segundo por ano. [63] [64]

A precisão da cronometragem do pêndulo foi superada pelo oscilador de cristal de quartzo , inventado em 1921, e os relógios de quartzo , inventados em 1927, substituíram os relógios de pêndulo como os melhores cronometristas do mundo. [2] Os relógios de pêndulo foram usados ​​como padrões de tempo até a 2ª Guerra Mundial, embora o Serviço de Tempo Francês tenha continuado a usá-los em seu conjunto oficial de padrões de tempo até 1954. [65] Os gravímetros de pêndulo foram substituídos pelos gravímetros de "queda livre" na década de 1950, [ 66], mas os instrumentos de pêndulo continuaram a ser usados ​​na década de 1970.

Por 300 anos, desde sua descoberta por volta de 1582 até o desenvolvimento do relógio de quartzo na década de 1930, o pêndulo foi o padrão mundial para cronometragem precisa. [2] [67] Além dos pêndulos de relógio, os pêndulos de segundos de giro livre foram amplamente usados ​​como temporizadores de precisão em experimentos científicos nos séculos XVII e XVIII. Os pêndulos requerem grande estabilidade mecânica: uma mudança de comprimento de apenas 0,02%, 0,2 mm em um pêndulo de relógio de pêndulo, causará um erro de um minuto por semana. [68]

Pêndulo do relógio de caixa longa (relógio de pêndulo)

Pêndulo ornamentado em um relógio Comtoise francês

Pêndulo de Ellicott, outro tipo de temperatura compensada

Invar pêndulo em baixo do tanque de pressão no relógio regulador Riefler , usado como o padrão de tempo dos EUA 1909-1929

Pêndulos de relógio

Escapamento de pêndulo e âncora de um relógio de pêndulo

Animação de escapamento de âncora , um dos escapes mais usados ​​em relógios de pêndulo

Pêndulos em relógios (veja o exemplo à direita) geralmente são feitos de um peso ou bob (b) suspenso por uma haste de madeira ou metal (a) . [8] [69] Para reduzir a resistência do ar (que é responsável pela maior parte da perda de energia em relógios de precisão) [70], o pêndulo é tradicionalmente um disco liso com uma seção transversal em forma de lente, embora em relógios antigos muitas vezes tivesse entalhes ou decorações específicas para o tipo de relógio. Em relógios de qualidade o bob é feito tão pesado quanto a suspensão pode suportar e o movimento pode dirigir, pois isso melhora a regulagem do relógio (veja Precisão abaixo). Um peso comum para segundos balanços de pêndulo é de 15 libras (6,8 kg). [71] Em vez de pendurados em um pivô , os pêndulos do relógio geralmente são sustentados por uma mola reta curta (d) de fita de metal flexível. Isso evita o atrito e a 'folga' causados ​​por um pivô, e a leve força de flexão da mola apenas aumenta a força de restauração do pêndulo . Os relógios de maior precisão têm pivôs de lâminas de 'faca' apoiados em placas de ágata. Os impulsos para manter o pêndulo oscilando são fornecidos por um braço pendurado atrás do pêndulo, denominado muleta , (e) , que termina em um garfo , (f) cujas pontas abraçam a haste do pêndulo. A muleta é empurrada para frente e para trás pelo escapamento do relógio , (g, h) .

Cada vez que o pêndulo passa por sua posição central, ele libera um dente da roda de escape (g) . A força da mola principal do relógio ou de um peso motriz pendurado em uma polia, transmitida pelo trem de engrenagens do relógio , faz com que a roda gire e um dente pressione contra uma das paletes (h) , dando um pequeno empurrão no pêndulo. As rodas do relógio, engrenadas na roda de escape, movem-se para frente em uma quantidade fixa com cada balanço do pêndulo, avançando os ponteiros do relógio em uma taxa constante.

O pêndulo sempre tem um meio de ajustar o período, geralmente por uma porca de ajuste (c) sob o pêndulo que o move para cima ou para baixo na haste. [8] [72] Mover o pêndulo para cima diminui o comprimento do pêndulo, fazendo com que o pêndulo oscile mais rápido e o relógio ganhe tempo. Alguns relógios de precisão têm um pequeno peso de ajuste auxiliar em um eixo rosqueado no pêndulo, para permitir um ajuste mais preciso. Alguns relógios de torre e relógios de precisão usam uma bandeja presa próximo ao ponto médio da haste do pêndulo, à qual pequenos pesos podem ser adicionados ou removidos. Isso muda efetivamente o centro de oscilação e permite que a taxa seja ajustada sem parar o relógio. [73] [74]

O pêndulo deve ser suspenso por um suporte rígido. [8] [75] Durante a operação, qualquer elasticidade permitirá movimentos de balanço minúsculos imperceptíveis do suporte, o que perturba o período do relógio, resultando em erro. Os relógios de pêndulo devem ser fixados firmemente a uma parede resistente.

O comprimento do pêndulo mais comum em relógios de qualidade, que sempre é usado em relógios antigos , é o pêndulo dos segundos , com cerca de 1 metro (39 polegadas) de comprimento. Em relógios de lareira , são usados ​​pêndulos de meio segundo, com 25 cm (9,8 pol.) De comprimento ou mais curtos. Apenas alguns relógios de torre grandes usam pêndulos mais longos, o pêndulo de 1,5 segundo, 2,25 m (7,4 pés) de comprimento, ou ocasionalmente o pêndulo de dois segundos, 4 m (13 pés) [8] [76] que é usado no Big Ben . [77]

Compensação de temperatura

Pêndulo de mercúrio no relógio regulador astronômico de Howard, 1887

A maior fonte de erro nos primeiros pêndulos eram pequenas mudanças no comprimento devido à expansão e contração térmica da haste do pêndulo com as mudanças na temperatura ambiente. [78] Isso foi descoberto quando as pessoas notaram que os relógios de pêndulo funcionavam mais devagar no verão, em até um minuto por semana [55] [79] (um dos primeiros foi Godefroy Wendelin , conforme relatado por Huygens em 1658). [80] A expansão térmica das hastes do pêndulo foi estudada pela primeira vez por Jean Picard em 1669. [81] [82] Um pêndulo com uma haste de aço se expandirá em cerca de 11,3 partes por milhão (ppm) com cada aumento de grau Celsius, causando sua perda cerca de 0,27 segundos por dia para cada aumento de grau Celsius na temperatura, ou 9 segundos por dia para uma mudança de 33 ° C (59 ° F). As hastes de madeira se expandem menos, perdendo apenas cerca de 6 segundos por dia para uma mudança de 33 ° C (59 ° F), razão pela qual relógios de qualidade geralmente tinham hastes de pêndulo de madeira. A madeira teve que ser envernizada para evitar a entrada de vapor d'água, pois as mudanças na umidade também afetavam o comprimento.

Pêndulo de mercúrio

O primeiro dispositivo a compensar esse erro foi o pêndulo de mercúrio, inventado por George Graham [56] em 1721. [8] [79] O mercúrio de metal líquido se expande em volume com a temperatura. Em um pêndulo de mercúrio, o peso do pêndulo (bob) é um recipiente de mercúrio. Com o aumento da temperatura, a haste do pêndulo fica mais longa, mas o mercúrio também se expande e seu nível de superfície sobe ligeiramente no recipiente, movendo seu centro de massa para mais perto do pivô do pêndulo. Usando a altura correta do mercúrio no recipiente, esses dois efeitos serão cancelados, deixando o centro de massa do pêndulo e seu período inalterados com a temperatura. Sua principal desvantagem era que, quando a temperatura mudasse, a haste chegaria à nova temperatura rapidamente, mas a massa de mercúrio poderia levar um ou dois dias para atingir a nova temperatura, fazendo com que a taxa se desviasse durante esse tempo. [83] Para melhorar a acomodação térmica, vários recipientes finos eram frequentemente usados, feitos de metal. Os pêndulos de mercúrio foram o padrão usado em relógios reguladores de precisão no século XX. [84]

Pêndulo de ferro

Diagrama de um pêndulo de grade A: esquema externo B: temperatura normal

C: temperatura mais alta

O pêndulo compensado mais amplamente usado foi o pêndulo de grade , inventado em 1726 por John Harrison . [8] [79] [83] Consiste em hastes alternadas de dois metais diferentes, um com menor expansão térmica ( CTE ), aço , e outro com maior expansão térmica, zinco ou latão . As hastes são conectadas por uma moldura, conforme mostrado no desenho à direita, de forma que um aumento no comprimento das hastes de zinco empurra o pêndulo para cima, encurtando o pêndulo. Com o aumento da temperatura, as barras de aço de baixa expansão tornam o pêndulo mais longo, enquanto as barras de zinco de alta expansão o tornam mais curto. Ao fazer as barras com os comprimentos corretos, a maior expansão do zinco cancela a expansão das barras de aço que têm um comprimento combinado maior, e o pêndulo permanece com o mesmo comprimento com a temperatura.

Os pêndulos da grade de ferro zinco-aço são feitos com 5 hastes, mas a expansão térmica do latão é mais próxima do aço, então grades de latão-aço geralmente requerem 9 hastes. Os pêndulos de ferro se ajustam às mudanças de temperatura mais rapidamente do que os pêndulos de mercúrio, mas os cientistas descobriram que a fricção das hastes que deslizam em seus orifícios na estrutura fazia com que os pêndulos de ferro se ajustassem em uma série de pequenos saltos. [83] Em relógios de alta precisão, isso fazia com que a taxa do relógio mudasse repentinamente a cada salto. Mais tarde, descobriu-se que o zinco está sujeito à fluência . Por essas razões, pêndulos de mercúrio eram usados ​​nos relógios de maior precisão, mas grades eram usados ​​em relógios reguladores de qualidade.

Os pêndulos de ferro tornaram-se tão associados à boa qualidade que, até hoje, muitos pêndulos de relógio comuns têm grades decorativas "falsas" que, na verdade, não têm nenhuma função de compensação de temperatura.

Quartzo invar e fundido

Por volta de 1900, foram desenvolvidos materiais de baixa expansão térmica que podiam ser usados ​​como hastes de pêndulo para tornar desnecessária a elaborada compensação de temperatura. [8] [79] Eles foram usados ​​apenas em alguns dos relógios de maior precisão antes de o pêndulo se tornar obsoleto como um padrão de tempo. Em 1896 Charles Edouard Guillaume inventou o níquel de aço de liga de Invar . Isso tem um CTE de cerca de 0,5 µin / (em · ° F), resultando em erros de temperatura do pêndulo acima de 71 ° F de apenas 1,3 segundos por dia, e este erro residual poderia ser compensado para zero com alguns centímetros de alumínio sob o pêndulo bob [2] [83] (isso pode ser visto na imagem do relógio Riefler acima). Os pêndulos Invar foram usados ​​pela primeira vez em 1898 no relógio do regulador Riefler [85], que alcançou uma precisão de 15 milissegundos por dia. As molas de suspensão de Elinvar foram usadas para eliminar a variação de temperatura da força restauradora da mola no pêndulo. Mais tarde, foi usado quartzo fundido, que tinha CTE ainda mais baixo. Esses materiais são a escolha para pêndulos modernos de alta precisão. [86]

Pressão atmosférica

O efeito do ar circundante em um pêndulo em movimento é complexo e requer que a mecânica dos fluidos calcule com precisão, mas para a maioria dos propósitos, sua influência no período pode ser explicada por três efeitos: [62] [87]

• Por princípio de Arquimedes a eficaz peso do prumo é reduzida pela flutuabilidade do ar que ele desloca, ao passo que a massa ( inércia ) permanece a mesma, reduzindo a aceleração do pêndulo durante a sua oscilação, aumentando o prazo. Isso depende da pressão do ar e da densidade do pêndulo, mas não de sua forma.
• O pêndulo carrega consigo uma quantidade de ar conforme balança, e a massa desse ar aumenta a inércia do pêndulo, novamente reduzindo a aceleração e aumentando o período. Isso depende tanto de sua densidade quanto de sua forma.
• A resistência do ar viscoso diminui a velocidade do pêndulo. Isso tem um efeito desprezível no período, mas dissipa energia, reduzindo a amplitude. Isso reduz o fator Q do pêndulo , exigindo uma força motriz maior do mecanismo do relógio para mantê-lo em movimento, o que causa maior perturbação no período.

Os aumentos na pressão barométrica aumentam ligeiramente o período de um pêndulo devido aos dois primeiros efeitos, em cerca de 0,11 segundos por dia por quilopascal (0,37 segundos por dia por polegada de mercúrio ou 0,015 segundos por dia por torr ). [62] Os pesquisadores que usaram pêndulos para medir a aceleração da gravidade tiveram que corrigir o período para a pressão do ar na altitude de medição, calculando o período equivalente de um pêndulo balançando no vácuo. Um relógio de pêndulo foi operado pela primeira vez em um tanque de pressão constante por Friedrich Tiede em 1865 no Observatório de Berlim , [88] [89] e em 1900 os relógios de mais alta precisão foram montados em tanques que foram mantidos a uma pressão constante para eliminar mudanças no pressão atmosférica. Alternativamente, em alguns, um pequeno mecanismo de barômetro aneróide preso ao pêndulo compensava esse efeito.

Gravidade

Os pêndulos são afetados por mudanças na aceleração gravitacional, que varia em até 0,5% em diferentes locais da Terra, portanto, relógios de pêndulo de precisão precisam ser recalibrados após um movimento. Até mesmo mover um relógio de pêndulo para o topo de um prédio alto pode fazer com que ele perca um tempo mensurável com a redução da gravidade.

Os elementos de marcação do tempo em todos os relógios, que incluem pêndulos, rodas de equilíbrio , os cristais de quartzo usados ​​em relógios de quartzo e até mesmo os átomos vibrantes em relógios atômicos , são chamados de osciladores harmônicos da física . O motivo pelo qual os osciladores harmônicos são usados ​​em relógios é que eles vibram ou oscilam em uma frequência ou período ressonante específico e resistem à oscilação em outras taxas. No entanto, a frequência ressonante não é infinitamente "nítida". Em torno da frequência ressonante existe uma estreita faixa natural de frequências (ou períodos), chamada largura de ressonância ou largura de faixa , onde o oscilador harmônico irá oscilar. [90] [91] Em um relógio, a frequência real do pêndulo pode variar aleatoriamente dentro desta largura de ressonância em resposta a distúrbios, mas em frequências fora desta banda, o relógio não funcionará de todo.

Fator Q

Um relógio de pêndulo livre Shortt-Synchronome , o relógio de pêndulo mais preciso já feito, no museu NIST , Gaithersburg, MD , EUA. Ele marcava o tempo com dois pêndulos sincronizados. O pêndulo mestre no tanque de vácuo (à esquerda) oscilou livre de praticamente qualquer perturbação e controlou o pêndulo escravo na caixa do relógio (à direita) que executou as tarefas de impulsão e cronometragem. Sua precisão era de cerca de um segundo por ano.

A medida da resistência de um oscilador harmônico às perturbações de seu período de oscilação é um parâmetro adimensional chamado fator Q igual à frequência de ressonância dividida pela largura de ressonância . [91] [92] Quanto maior o Q , menor a largura de ressonância e mais constante a frequência ou período do oscilador para uma determinada perturbação. [93] O recíproco do Q é aproximadamente proporcional à precisão limite alcançável por um oscilador harmônico como um padrão de tempo. [94]

O Q está relacionado a quanto tempo leva para as oscilações de um oscilador morrerem. O Q de um pêndulo pode ser medido contando o número de oscilações necessárias para que a amplitude da oscilação do pêndulo diminua para 1 / e = 36,8% de sua oscilação inicial e multiplicando por 2 π .

Em um relógio, o pêndulo deve receber impulsos do movimento do relógio para mantê-lo girando, para repor a energia que o pêndulo perde devido ao atrito. Esses impulsos, aplicados por um mecanismo chamado escape , são a principal fonte de perturbação do movimento do pêndulo. O Q é igual a 2 π vezes a energia armazenada no pêndulo, dividida pela energia perdida por atrito durante cada período de oscilação, que é igual à energia adicionada pelo escape em cada período. Pode-se ver que quanto menor a fração da energia do pêndulo que é perdida por atrito, menos energia precisa ser adicionada, menos perturbação do escape, mais "independente" o pêndulo é do mecanismo do relógio, e mais constante é o seu período. O Q de um pêndulo é dado por:

onde M é a massa do pêndulo , ω  = 2 π / T é a frequência radiana de oscilação do pêndulo e Γ é a força de amortecimento de atrito no pêndulo por velocidade unitária.

ω é fixado pelo período do pêndulo e M é limitado pela capacidade de carga e rigidez da suspensão. Portanto, o Q dos pêndulos do relógio é aumentado, minimizando as perdas por atrito ( Γ ). Os pêndulos de precisão são suspensos em pivôs de baixa fricção consistindo em bordas em forma de "faca" triangular apoiadas em placas de ágata. Cerca de 99% da perda de energia em um pêndulo de giro livre é devido ao atrito do ar, portanto, montar um pêndulo em um tanque de vácuo pode aumentar o Q e, portanto, a precisão, por um fator de 100. [95]

O Q dos pêndulos varia de vários milhares em um relógio comum a várias centenas de milhares para pêndulos de reguladores de precisão balançando no vácuo. [96] Um relógio de pêndulo doméstico de qualidade pode ter um Q de 10.000 e uma precisão de 10 segundos por mês. O relógio de pêndulo mais preciso produzido comercialmente foi o relógio de pêndulo livre Shortt-Synchronome , inventado em 1921. [2] [63] [97] [98] [99] Seu pêndulo mestre Invar balançando em um tanque de vácuo tinha um Q de 110.000 [ 96] e uma taxa de erro de cerca de um segundo por ano. [63]

Seu Q de 10 3 –10 5 é uma razão pela qual os pêndulos são cronometristas mais precisos do que as rodas de equilíbrio em relógios, com Q em torno de 100–300, mas menos precisos do que os cristais de quartzo em relógios de quartzo , com Q de 10 5 –10 6 . [2] [96]

Escapamento

Os pêndulos (ao contrário, por exemplo, dos cristais de quartzo) têm um Q baixo o suficiente para que a perturbação causada pelos impulsos para mantê-los em movimento seja geralmente o fator limitante em sua precisão de cronometragem. Portanto, o projeto do escapamento , o mecanismo que fornece esses impulsos, tem um grande efeito na precisão do pêndulo do relógio. Se os impulsos dados ao pêndulo pelo escape de cada balanço pudessem ser exatamente idênticos, a resposta do pêndulo seria idêntica e seu período seria constante. No entanto, isso não é possível; flutuações aleatórias inevitáveis ​​na força devido ao atrito dos paletes do relógio, variações de lubrificação e mudanças no torque fornecido pela fonte de energia do relógio à medida que ele vai passando, significam que a força do impulso aplicado pelo escape varia.

Se essas variações na força de escape causarem mudanças na largura de oscilação do pêndulo (amplitude), isso causará ligeiras mudanças correspondentes no período, uma vez que (como discutido no topo) um pêndulo com uma oscilação finita não é totalmente isócrono. Portanto, o objetivo do projeto de escapamento tradicional é aplicar a força com o perfil adequado e no ponto correto do ciclo do pêndulo, para que as variações de força não tenham efeito sobre a amplitude do pêndulo. Isso é chamado de escape isócrono .

A condição Airy

Os relojoeiros sabiam há séculos que o efeito perturbador da força motriz do escapamento no período de um pêndulo é menor se dado como um impulso curto quando o pêndulo passa por sua posição de equilíbrio inferior . [2] Se o impulso ocorrer antes de o pêndulo atingir o fundo, durante a oscilação para baixo, ele terá o efeito de encurtar o período natural do pêndulo, de modo que um aumento na força propulsora diminuirá o período. Se o impulso ocorrer depois que o pêndulo atingir o fundo, durante a ascensão, ele aumentará o período, de modo que um aumento na força motriz aumentará o período do pêndulo. Em 1826, o astrônomo britânico George Airy provou isso; especificamente, ele provou que se um pêndulo é impulsionado por um impulso simétrico em relação à sua posição de equilíbrio inferior, o período do pêndulo não será afetado por mudanças na força motriz. [100] Os escapes mais precisos, como o deadbeat , aproximadamente satisfazem essa condição. [101]

A presença da aceleração da gravidade g na equação de periodicidade (1) para um pêndulo significa que a aceleração gravitacional local da Terra pode ser calculada a partir do período de um pêndulo. Um pêndulo pode, portanto, ser usado como gravímetro para medir a gravidade local , que varia em mais de 0,5% na superfície da Terra. [102] [Nota 2] O pêndulo em um relógio é perturbado pelos impulsos que recebe do movimento do relógio, então pêndulos de giro livre foram usados ​​e foram os instrumentos padrão da gravimetria até a década de 1930.

A diferença entre os pêndulos do relógio e os pêndulos do gravímetro é que, para medir a gravidade, o comprimento do pêndulo, bem como o seu período, devem ser medidos. O período dos pêndulos que giram livremente pode ser encontrado com grande precisão, comparando-se seu movimento com um relógio de precisão que foi ajustado para manter a hora correta pela passagem das estrelas no céu. Nas primeiras medições, um peso em uma corda era suspenso na frente do pêndulo do relógio e seu comprimento ajustado até que os dois pêndulos balançassem em sincronismo exato. Em seguida, o comprimento da corda foi medido. A partir do comprimento e do período, g pode ser calculado a partir da equação (1).

O pêndulo dos segundos

O pêndulo dos segundos, um pêndulo com um período de dois segundos, de modo que cada balanço leva um segundo

O pêndulo dos segundos , um pêndulo com um período de dois segundos em que cada balanço leva um segundo, era amplamente utilizado para medir a gravidade, porque seu período podia ser facilmente medido comparando-o a relógios reguladores de precisão , que tinham todos pêndulos de segundos. No final do século 17, o comprimento do pêndulo de segundos tornou-se a medida padrão da força da aceleração gravitacional em um local. Por volta de 1700, seu comprimento foi medido com precisão submilimétrica em várias cidades da Europa. Para um pêndulo de segundos, g é proporcional ao seu comprimento:

Primeiras observações

• 1620 : O cientista britânico Francis Bacon foi um dos primeiros a propor o uso de um pêndulo para medir a gravidade, sugerindo levar uma montanha para ver se a gravidade varia com a altitude. [103]
• 1644 : Mesmo antes do relógio de pêndulo, o padre francês Marin Mersenne primeiro determinou que o comprimento do pêndulo dos segundos era de 39,1 polegadas (990 mm), comparando a oscilação de um pêndulo com o tempo que um peso levava para cair uma distância medida. Ele também foi o primeiro a descobrir a dependência do período da amplitude do balanço.
• 1669 : Jean Picard determinou o comprimento do segundo pêndulo em Paris, usando uma bola de cobre de 1 polegada (25 mm) suspensa por uma fibra de aloe, obtendo 39,09 polegadas (993 mm). [104] Ele também fez os primeiros experimentos de expansão e contração térmicas de hastes de pêndulo com a temperatura.
• 1672 : A primeira observação de que a gravidade variava em diferentes pontos da Terra foi feita em 1672 por Jean Richer , que levou um relógio de pêndulo para Caiena , Guiana Francesa e descobriu que ele havia perdido 2+1 ⁄ 2 minutos por dia; seu segundo pêndulo teve que ser encurtado por 1+1 ⁄ 4 linhas (2,6 mm) mais curtas do que em Paris, para manter o tempo correto. [105] [106] Em 1687 Isaac Newton em Principia Mathematica mostrou que isso acontecia porque a Terra tinha umaformaligeiramente achatada (achatada nos pólos) causada pela força centrífuga de sua rotação. Em latitudes mais altas, a superfície fica mais próxima do centro da Terra, então a gravidade aumenta com a latitude. [106] A partir desse momento, os pêndulos começaram a ser levados para terras distantes para medir a gravidade, e tabelas foram compiladas com a duração do pêndulo dos segundos em diferentes locais da Terra. Em 1743, Alexis Claude Clairaut criou o primeiro modelo hidrostático da Terra, o teorema de Clairaut , [104] que permitiu que a elipticidade da Terra fosse calculada a partir de medições de gravidade. Modelos progressivamente mais precisos da forma da Terra se seguiram.
• 1687 : Newton experimentou com pêndulos (descritos em Principia ) e descobriu que pêndulos de comprimento igual com saliências feitas de materiais diferentes tinham o mesmo período, provando que a força gravitacional em diferentes substâncias era exatamente proporcional à sua massa (inércia). Esse princípio, denominado princípio da equivalência , confirmado com maior precisão em experimentos posteriores, tornou-se a base na qual Albert Einstein baseou sua teoria geral da relatividade .

Medição de Borda & Cassini de 1792 do comprimento do pêndulo dos segundos

• 1737 : o matemático francês Pierre Bouguer fez uma série sofisticada de observações do pêndulo nas montanhas dos Andes , Peru. [107] Ele usou um pêndulo de cobre na forma de um cone de ponta dupla suspenso por um fio; o prumo pode ser revertido para eliminar os efeitos da densidade não uniforme. Ele calculou o comprimento até o centro da oscilação da linha e do prumo combinados, em vez de usar o centro do prumo. Ele corrigiu a expansão térmica da haste de medição e a pressão barométrica, dando seus resultados para um pêndulo oscilando no vácuo. Bouguer balançou o mesmo pêndulo em três elevações diferentes, do nível do mar ao topo do altiplano peruano . A gravidade deve cair com o inverso do quadrado da distância do centro da Terra. Bouguer descobriu que ele caiu mais devagar e atribuiu corretamente a gravidade "extra" ao campo gravitacional do imenso planalto peruano. A partir da densidade das amostras de rocha, ele calculou uma estimativa do efeito do altiplano sobre o pêndulo e, comparando-a com a gravidade da Terra, foi capaz de fazer a primeira estimativa aproximada da densidade da Terra .
• 1747 : Daniel Bernoulli mostrou como corrigir o alongamento do período devido a um ângulo finito de balanço θ 0 usando a primeira correção fim θ 0 2 /16, dando o período de um pêndulo com um extremamente pequena swing. [107]
• 1792 : Para definir um padrão de comprimento do pêndulo para uso com o novo sistema métrico , em 1792 Jean-Charles de Borda e Jean-Dominique Cassini fizeram uma medição precisa do segundo pêndulo em Paris. Eles usaram um 1+1 ⁄ 2 polegadas (14 mm) [ esclarecimento necessário ] bola de platina suspensa por um fio de ferro de 12 pés (3,7 m). Sua principal inovação foi uma técnica chamada " método das coincidências " que permitia comparar o período dos pêndulos com grande precisão. (Bouguer também havia usado esse método). O intervalo de tempo Δ t entre os instantes recorrentes quando os dois pêndulos balançaram em sincronismo foi cronometrado. A partir disso, a diferença entre os períodos dos pêndulos, T 1 e T 2 , pode ser calculada:

• 1821 : Francesco Carlini fez observações no pêndulo no topo do Monte Cenis, Itália, a partir das quais, usando métodos semelhantes aos de Bouguer, ele calculou a densidade da Terra. [108] Ele comparou suas medições a uma estimativa da gravidade em sua localização assumindo que a montanha não estava lá, calculada a partir de medições anteriores do pêndulo ao nível do mar. Suas medidas mostraram "excesso" de gravidade, que ele atribuiu ao efeito da montanha. Modelando a montanha como um segmento de uma esfera de 11 milhas (18 km) de diâmetro e 1 milha (1,6 km) de altura, a partir de amostras de rochas, ele calculou seu campo gravitacional e estimou a densidade da Terra em 4,39 vezes a da água. Recálculos posteriores feitos por terceiros deram valores de 4,77 e 4,95, ilustrando as incertezas nesses métodos geográficos.

Pêndulo de Kater

A precisão das medições de gravidade iniciais acima foi limitada pela dificuldade de medir o comprimento do pêndulo, L . L era o comprimento de um pêndulo de gravidade simples idealizado (descrito no topo), que tem toda a sua massa concentrada em um ponto na extremidade da corda. Em 1673 Huygens havia mostrado que o período de um pêndulo de barra rígida (chamado de pêndulo composto ) era igual ao período de um pêndulo simples com um comprimento igual à distância entre o ponto de pivô e um ponto denominado centro de oscilação , localizado sob o centro de gravidade , que depende da distribuição de massa ao longo do pêndulo. Mas não havia uma maneira precisa de determinar o centro de oscilação em um pêndulo real.

Para contornar esse problema, os primeiros pesquisadores acima se aproximaram de um pêndulo simples ideal o mais próximo possível, usando uma esfera de metal suspensa por um fio ou corda leve. Se o fio fosse leve o suficiente, o centro de oscilação ficava próximo ao centro de gravidade da bola, em seu centro geométrico. Esse tipo de pêndulo de "bola e arame" não era muito preciso, porque não oscilava como um corpo rígido, e a elasticidade do fio fazia com que seu comprimento mudasse ligeiramente conforme o pêndulo balançava.

No entanto, Huygens também provou que, em qualquer pêndulo, o ponto de pivô e o centro de oscilação são intercambiáveis. [17] Ou seja, se um pêndulo fosse virado de cabeça para baixo e pendurado em seu centro de oscilação, ele teria o mesmo período que tinha na posição anterior, e o antigo ponto de pivô seria o novo centro de oscilação.

O físico britânico e capitão do exército Henry Kater em 1817 percebeu que o princípio de Huygens poderia ser usado para encontrar o comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período de um pêndulo real. [57] Se um pêndulo foi construído com um segundo ponto de pivô ajustável perto da parte inferior para que pudesse ser pendurado de cabeça para baixo, e o segundo pivô fosse ajustado até que os períodos em que pendurado em ambos os pivôs fossem os mesmos, o segundo pivô estaria no centro de oscilação, e a distância entre os dois pivôs seria o comprimento L de um pêndulo simples com o mesmo período.

Kater construiu um pêndulo reversível (mostrado à direita) consistindo de uma barra de latão com dois pivôs opostos feitos de pequenas lâminas triangulares de "faca" (a) perto de cada extremidade. Ele poderia ser girado a partir de qualquer um dos eixos, com as lâminas das facas apoiadas em placas de ágata. Em vez de tornar um pivô ajustável, ele os prendeu a um metro de distância e, em vez disso, ajustou os períodos com um peso móvel na haste do pêndulo (b, c) . Em operação, o pêndulo é pendurado na frente de um relógio de precisão e o período é cronometrado, depois é virado de cabeça para baixo e o período cronometrado novamente. O peso é ajustado com o parafuso de ajuste até que os períodos sejam iguais. Então, colocando esse período e a distância entre os pivôs na equação (1), obtém-se a aceleração gravitacional g com muita precisão.

Kater cronometrou a oscilação de seu pêndulo usando o " método das coincidências " e mediu a distância entre os dois pivôs com um micrômetro. Depois de aplicar correções para a amplitude finita do balanço, a flutuabilidade do pêndulo, a pressão barométrica e altitude e a temperatura, ele obteve um valor de 39,13929 polegadas para o pêndulo dos segundos em Londres, no vácuo, ao nível do mar, a 62 ° F . A maior variação da média de suas 12 observações foi de 0,00028 pol. [109] representando uma medição de precisão da gravidade de 7 × 10 −6 (7 mGal ou 70 µm / s 2 ). A medida de Kater foi usada como o padrão oficial de comprimento da Grã-Bretanha (veja abaixo ) de 1824 a 1855.

Pêndulos reversíveis (conhecidos tecnicamente como pêndulos "conversíveis") empregando o princípio de Kater foram usados ​​para medições de gravidade absoluta na década de 1930.

Gravímetros pendulares posteriores

O aumento da precisão possibilitado pelo pêndulo de Kater ajudou a tornar a gravimetria uma parte padrão da geodésia . Como a localização exata (latitude e longitude) da 'estação' onde a medição da gravidade foi feita era necessária, as medições da gravidade tornaram-se parte do levantamento , e pêndulos foram tomados nos grandes levantamentos geodésicos do século 18, particularmente o Grande Levantamento Trigonométrico de Índia.

Medindo a gravidade com um pêndulo invariável, Madras, Índia, 1821

• Pêndulos invariáveis: Kater introduziu a ideia de medições de gravidade relativa , para complementar as medições absolutas feitas por um pêndulo de Kater. [110] Comparar a gravidade em dois pontos diferentes foi um processo mais fácil do que medi-la absolutamente pelo método de Kater. Tudo o que era necessário era cronometrar o período de um pêndulo comum (pivô único) no primeiro ponto, então transportar o pêndulo para o outro ponto e cronometrar seu período lá. Como o comprimento do pêndulo era constante, de (1) a razão das acelerações gravitacionais era igual ao inverso da razão dos períodos ao quadrado, e nenhuma medida de precisão do comprimento era necessária. Assim, uma vez que a gravidade foi medida absolutamente em alguma estação central, pelo Kater ou outro método preciso, a gravidade em outros pontos poderia ser encontrada balançando pêndulos na estação central e depois levando-os para outro local e cronometrando sua oscilação lá. Kater formou um conjunto de pêndulos "invariáveis", com apenas um pivô de lâmina de faca, que foram levados para muitos países depois de serem balançados em uma estação central no Observatório de Kew , no Reino Unido.
• Experimentos da mina de carvão de Airy : começando em 1826, usando métodos semelhantes aos de Bouguer, o astrônomo britânico George Airy tentou determinar a densidade da Terra por medições de gravidade pendular no topo e no fundo de uma mina de carvão. [111] [112] A força gravitacional abaixo da superfície da Terra diminui em vez de aumentar com a profundidade, porque pela lei de Gauss a massa da camada esférica da crosta acima do ponto subsuperficial não contribui para a gravidade. O experimento de 1826 foi abortado pela inundação da mina, mas em 1854 ele conduziu um experimento aprimorado na mina de carvão Harton, usando segundos pêndulos balançando em placas de ágata, cronometrados por cronômetros de precisão sincronizados por um circuito elétrico. Ele descobriu que o pêndulo inferior era mais lento em 2,24 segundos por dia. Isso significava que a aceleração gravitacional no fundo da mina, 1250 pés abaixo da superfície, era 1 / 14.000 menor do que deveria ser pela lei do inverso do quadrado; essa é a atração da concha esférica era 1 / 14.000 da atração da Terra. A partir de amostras da superfície rochosa, ele estimou a massa da camada esférica da crosta e, a partir disso, estimou que a densidade da Terra era 6,565 vezes a da água. Von Sterneck tentou repetir a experiência em 1882, mas encontrou resultados inconsistentes.

• Pêndulo Repsold-Bessel: consumia muito tempo e estava sujeito a erros girar repetidamente o pêndulo de Kater e ajustar os pesos até que os períodos fossem iguais. Friedrich Bessel mostrou em 1835 que isso era desnecessário. [113] Enquanto os períodos estivessem próximos, a gravidade poderia ser calculada a partir dos dois períodos e do centro de gravidade do pêndulo. [114] Portanto, o pêndulo reversível não precisava ser ajustável, poderia ser apenas uma barra com dois pivôs. Bessel também mostrou que se o pêndulo fosse feito de forma simétrica em torno de seu centro, mas fosse ponderado internamente em uma das extremidades, os erros devido à resistência do ar seriam cancelados. Além disso, outro erro devido ao diâmetro finito dos gumes poderia ser cometido para cancelar se eles fossem trocados entre as medições. Bessel não construiu tal pêndulo, mas em 1864 Adolf Repsold, sob contrato com a Comissão Geodésica Suíça, fez um pêndulo ao longo dessas linhas. O pêndulo Repsold tinha cerca de 56 cm de comprimento e teve um período de cerca de 3 ⁄ 4 segundos. Foi usado extensivamente por agências geodésicas europeias e com o pêndulo de Kater no Levantamento da Índia. Pêndulos semelhantes desse tipo foram projetados por Charles Pierce e C. Defforges.

Pêndulos usados ​​no gravímetro Mendenhall, 1890

• Gravímetros de Von Sterneck e Mendenhall: Em 1887, o cientista austro-húngaro Robert von Sterneck desenvolveu um pequeno pêndulo gravimétrico montado em um tanque de vácuo com temperatura controlada para eliminar os efeitos da temperatura e da pressão do ar. Ele usava um "pêndulo de meio segundo", tendo um período próximo a um segundo, cerca de 25 cm de comprimento. O pêndulo era irreversível, então o instrumento era usado para medições de gravidade relativa, mas seu tamanho pequeno os tornava pequenos e portáteis. O período do pêndulo foi escolhido refletindo a imagem de uma faísca elétrica criada por um cronômetro de precisão em um espelho montado no topo da haste do pêndulo. O instrumento Von Sterneck e um instrumento semelhante desenvolvido por Thomas C. Mendenhall da US Coast and Geodetic Survey em 1890, [115] foram usados ​​extensivamente para pesquisas na década de 1920.

• Gravímetros de pêndulo duplo: a partir de 1875, o aumento da precisão das medições do pêndulo revelou outra fonte de erro nos instrumentos existentes: a oscilação do pêndulo causou um leve balanço do tripé usado para apoiar os pêndulos portáteis, introduzindo erro. Em 1875, Charles S. Peirce calculou que as medições do comprimento do pêndulo dos segundos feitas com o instrumento Repsold exigiam uma correção de 0,2 mm devido a esse erro. [116] Em 1880 C. Defforges usou um interferômetro de Michelson para medir a oscilação do suporte dinamicamente, e interferômetros foram adicionados ao aparelho Mendenhall padrão para calcular as correções de oscilação. [117] Um método para prevenir este erro foi sugerido pela primeira vez em 1877 por Hervé Faye e defendido por Peirce, Cellérier e Furtwãngler: monte dois pêndulos idênticos no mesmo suporte, balançando com a mesma amplitude, 180 ° fora de fase. O movimento oposto dos pêndulos cancelaria quaisquer forças laterais sobre o suporte. A ideia foi contestada devido à sua complexidade, mas no início do século 20 o dispositivo Von Sterneck e outros instrumentos foram modificados para balançar vários pêndulos simultaneamente.

Pêndulos de quartzo usados ​​no gravímetro do Golfo, 1929

• Gravímetro do Golfo : um dos últimos e mais precisos gravímetros de pêndulo foi o aparelho desenvolvido em 1929 pela Gulf Research and Development Co. [118] [119]. Ele usava dois pêndulos feitos de quartzo fundido , cada um com 10,7 polegadas (270 mm) de comprimento com um período de 0,89 segundo, oscilando em pivôs de ponta de faca de pirex, 180 ° fora de fase. Eles foram montados em uma câmara de vácuo com temperatura e umidade permanentemente selada. Cargas eletrostáticas dispersas nos pêndulos de quartzo tiveram que ser descarregadas expondo-as a um sal radioativo antes do uso. O período foi detectado refletindo um feixe de luz de um espelho no topo do pêndulo, registrado por um gravador gráfico e comparado a um oscilador de cristal de precisão calibrado contra o sinal de tempo de rádio WWV . Este instrumento teve uma precisão de (0,3–0,5) × 10 −7 (30–50 microgais ou 3–5 nm / s 2 ). [118] Foi usado na década de 1960.

Os gravímetros de pêndulo relativo foram substituídos pelo gravímetro de mola de comprimento zero LaCoste mais simples, inventado em 1934 por Lucien LaCoste. [115] Gravímetros pendulares absolutos (reversíveis) foram substituídos na década de 1950 por gravímetros de queda livre, nos quais um peso pode cair em um tanque de vácuo e sua aceleração é medida por um interferômetro óptico . [66]

Como a aceleração da gravidade é constante em um determinado ponto da Terra, o período de um pêndulo simples em um determinado local depende apenas de seu comprimento. Além disso, a gravidade varia apenas ligeiramente em diferentes locais. Quase desde a descoberta do pêndulo até o início do século 19, essa propriedade levou os cientistas a sugerir o uso de um pêndulo de um determinado período como padrão de comprimento .

Até o século 19, os países baseavam seus sistemas de medição de comprimento em protótipos, padrões primários de barras de metal , como o pátio padrão na Grã-Bretanha mantido nas Casas do Parlamento, e o toise padrão na França, mantido em Paris. Eles eram vulneráveis ​​a danos ou destruição ao longo dos anos e, devido à dificuldade de comparar protótipos, a mesma unidade costumava ter comprimentos diferentes em cidades distantes, criando oportunidades de fraude. [120] Durante o Iluminismo, os cientistas defenderam um padrão de comprimento baseado em alguma propriedade da natureza que poderia ser determinada por medição, criando um padrão universal indestrutível. O período dos pêndulos podia ser medido com muita precisão cronometrando-os com relógios ajustados pelas estrelas. Um padrão de pêndulo equivalia a definir a unidade de comprimento pela força gravitacional da Terra, para todos os efeitos constante, e a segunda, que era definida pela taxa de rotação da Terra , também constante. A ideia era que qualquer pessoa, em qualquer lugar da Terra, pudesse recriar o padrão construindo um pêndulo que oscilasse com o período definido e medindo seu comprimento.

Praticamente todas as propostas se baseavam no pêndulo dos segundos , em que cada balanço (meio período ) leva um segundo, que tem cerca de um metro (39 polegadas) de comprimento, porque no final do século 17 ele se tornou um padrão para medir a gravidade (ver seção anterior). Por volta do século 18, seu comprimento foi medido com uma precisão abaixo de um milímetro em várias cidades da Europa e ao redor do mundo.

A atração inicial do padrão de comprimento do pêndulo era que se acreditava (pelos primeiros cientistas como Huygens e Wren) que a gravidade era constante sobre a superfície da Terra, então um determinado pêndulo tinha o mesmo período em qualquer ponto da Terra. [120] Portanto, o comprimento do pêndulo padrão poderia ser medido em qualquer local, e não seria vinculado a qualquer nação ou região; seria um padrão verdadeiramente democrático e mundial. Embora Richer tenha descoberto em 1672 que a gravidade varia em diferentes pontos do globo, a ideia de um padrão de comprimento de pêndulo permaneceu popular, porque descobriu que a gravidade varia apenas com a latitude . A aceleração gravitacional aumenta suavemente do equador aos pólos , devido à forma oblata da Terra, então em qualquer latitude dada (linha leste-oeste), a gravidade era constante o suficiente para que o comprimento de um pêndulo de segundos fosse o mesmo dentro da capacidade de medição do século XVIII. Assim, a unidade de comprimento poderia ser definida em uma determinada latitude e medida em qualquer ponto ao longo dessa latitude. Por exemplo, um padrão de pêndulo definido a 45 ° de latitude norte, uma escolha popular, pode ser medido em partes da França, Itália, Croácia, Sérvia, Romênia, Rússia, Cazaquistão, China, Mongólia, Estados Unidos e Canadá. Além disso, ele poderia ser recriado em qualquer local em que a aceleração gravitacional tivesse sido medida com precisão.

Em meados do século 19, medições cada vez mais precisas do pêndulo por Edward Sabine e Thomas Young revelaram que a gravidade e, portanto, o comprimento de qualquer padrão de pêndulo, variava de forma mensurável com características geológicas locais, como montanhas e densas rochas subterrâneas. [121] Portanto, um padrão de comprimento de pêndulo teve que ser definido em um único ponto na Terra e só poderia ser medido lá. Isso tirou muito do apelo do conceito e os esforços para adotar os padrões do pêndulo foram abandonados.

Propostas iniciais

Um dos primeiros a sugerir a definição do comprimento com um pêndulo foi o cientista flamengo Isaac Beeckman [122] que em 1631 recomendou fazer o segundo pêndulo "a medida invariável para todas as pessoas, em todos os momentos e em todos os lugares". [123] Marin Mersenne , que mediu o pêndulo dos segundos em 1644, também o sugeriu. A primeira proposta oficial para um padrão de pêndulo foi feita pela British Royal Society em 1660, defendida por Christiaan Huygens e Ole Rømer , baseando-se no trabalho de Mersenne, [124] e Huygens em Horologium Oscillatorium propôs um "pé de horary" definido como 1 / 3 do pêndulo de segundos. Christopher Wren foi outro defensor inicial. A ideia de um padrão de comprimento de pêndulo deve ter sido familiar às pessoas já em 1663, porque Samuel Butler a satiriza em Hudibras : [125]

Em 1671, Jean Picard propôs um "pé universal" definido pelo pêndulo em seu influente Mesure de la Terre . [126] Gabriel Mouton por volta de 1670 sugeriu definir o dedo do pé por um pêndulo de segundos ou um minuto do grau terrestre. Um plano para um sistema completo de unidades baseado no pêndulo foi apresentado em 1675 pelo polímata italiano Tito Livio Burratini. Na França, em 1747, o geógrafo Charles Marie de la Condamine propôs definir o comprimento por um pêndulo de segundos no equador; já que neste local a oscilação de um pêndulo não seria distorcida pela rotação da Terra. James Steuart (1780) e George Skene Keith também apoiaram.

No final do século 18, quando muitas nações estavam reformando seus sistemas de peso e medida , o pêndulo dos segundos era a principal escolha para uma nova definição de comprimento, defendida por cientistas proeminentes em várias nações importantes. Em 1790, o então Secretário de Estado dos Estados Unidos, Thomas Jefferson, propôs ao Congresso um abrangente 'sistema métrico' decimais dos Estados Unidos com base no pêndulo dos segundos a 38 ° de latitude Norte, a latitude média dos Estados Unidos. [127] Nenhuma ação foi tomada em relação a esta proposta. Na Grã-Bretanha, o principal defensor do pêndulo foi o político John Riggs Miller . [128] Quando seus esforços para promover um sistema métrico britânico-franco-americano conjunto fracassaram em 1790, ele propôs um sistema britânico baseado na duração do segundo pêndulo em Londres. Este padrão foi adotado em 1824 (abaixo).

O medidor

Nas discussões que levaram à adoção do sistema métrico pelos franceses em 1791, o principal candidato para a definição da nova unidade de comprimento, o metro , foi o pêndulo dos segundos a 45 ° de latitude norte. Foi defendida por um grupo liderado pelo político francês Talleyrand e pelo matemático Antoine Nicolas Caritat de Condorcet . Esta foi uma das três opções finais consideradas pelo comitê da Academia Francesa de Ciências . No entanto, em 19 de março de 1791, o comitê preferiu basear o metro no comprimento do meridiano através de Paris. Uma definição de pêndulo foi rejeitada por causa de sua variabilidade em diferentes locais e porque definia o comprimento por uma unidade de tempo. (No entanto, desde 1983 o metro foi oficialmente definido em termos do comprimento do segundo e da velocidade da luz.) Uma possível razão adicional é que a radical Academia Francesa não queria basear seu novo sistema no segundo, um unidade tradicional e não-decimal do antigo regime .

Embora não definido pelo pêndulo, o comprimento final escolhido para o metro, 10-7 do arco do meridiano pólo-equador , foi muito próximo ao comprimento do pêndulo dos segundos (0,9937 m), dentro de 0,63%. Embora nenhuma razão para essa escolha em particular tenha sido dada na época, provavelmente foi para facilitar o uso do pêndulo dos segundos como padrão secundário, conforme proposto no documento oficial. Portanto, a unidade padrão de comprimento do mundo moderno está certamente intimamente ligada historicamente ao pêndulo dos segundos.

Grã-Bretanha e Dinamarca

A Grã-Bretanha e a Dinamarca parecem ser as únicas nações que (por um curto período) basearam suas unidades de comprimento no pêndulo. Em 1821, a polegada dinamarquesa foi definida como 1/38 do comprimento do pêndulo médio dos segundos solares a 45 ° de latitude no meridiano de Skagen , ao nível do mar, no vácuo. [129] [130] O parlamento britânico aprovou a Lei Imperial de Pesos e Medidas em 1824, uma reforma do sistema padrão britânico que declarava que se o pátio padrão do protótipo fosse destruído, seria recuperado definindo a polegada de modo que o comprimento de o pêndulo dos segundos solares em Londres, ao nível do mar , no vácuo, a 62 ° F era de 39,1393 polegadas. [131] Isso também se tornou o padrão dos EUA, já que na época os EUA usavam medidas britânicas. No entanto, quando o pátio do protótipo foi perdido no incêndio nas Casas do Parlamento de 1834 , foi impossível recriá-lo com precisão a partir da definição do pêndulo e, em 1855, a Grã-Bretanha revogou o padrão do pêndulo e voltou aos padrões do protótipo.

Um pêndulo no qual a haste não é vertical, mas quase horizontal, foi usado nos primeiros sismômetros para medir tremores de terra. O pêndulo não se move quando sua montagem se move, e a diferença nos movimentos é registrada em um gráfico de bateria.

Sintonia Schuler

Conforme explicado pela primeira vez por Maximilian Schuler em um artigo de 1923, um pêndulo cujo período é exatamente igual ao período orbital de um hipotético satélite orbitando logo acima da superfície da Terra (cerca de 84 minutos) tenderá a permanecer apontando para o centro da Terra quando seu o suporte é repentinamente deslocado. Este princípio, denominado ajuste de Schuler , é usado em sistemas de orientação inercial em navios e aeronaves que operam na superfície da Terra. Nenhum pêndulo físico é usado, mas o sistema de controle que mantém a plataforma inercial contendo os giroscópios estável é modificado para que o dispositivo atue como se estivesse preso a tal pêndulo, mantendo a plataforma sempre voltada para baixo conforme o veículo se move na superfície curva do a Terra.

Pêndulos acoplados

Dois pêndulos com o mesmo período acoplados por suspensão de um cordão de suporte comum. A oscilação alterna entre os dois.

Repetição do experimento Huygens mostrando a sincronização de dois relógios

Em 1665, Huygens fez uma observação curiosa sobre relógios de pêndulo. Dois relógios foram colocados em sua manta , e ele notou que haviam adquirido um movimento oposto. Ou seja, seus pêndulos batiam em uníssono, mas na direção oposta; 180 ° fora de fase . Independentemente de como os dois relógios foram iniciados, ele descobriu que eles eventualmente voltariam a este estado, fazendo assim a primeira observação registrada de um oscilador acoplado . [132]

A causa desse comportamento era que os dois pêndulos estavam afetando um ao outro por meio de movimentos leves da peça de sustentação. Esse processo é chamado de entrainment ou mode locking na física e é observado em outros osciladores acoplados. Pêndulos sincronizados foram usados ​​em relógios e eram amplamente usados ​​em gravímetros no início do século XX. Embora Huygens tenha observado apenas sincronização fora de fase, investigações recentes mostraram a existência de sincronização em fase, bem como estados de "morte" em que um ou ambos os relógios param. [133] [134]

Prática religiosa

Pêndulo na Catedral Metropolitana, Cidade do México.

O movimento do pêndulo também aparece em cerimônias religiosas. O incensário oscilante chamado incensário , também conhecido como turíbulo , é um exemplo de pêndulo. [135] Pêndulos também são vistos em muitas reuniões no leste do México, onde marcam a virada das marés no dia em que as marés estão em seu ponto mais alto. Veja também pêndulos para adivinhação e radiestesia .

Educação

Os pêndulos são amplamente utilizados no ensino de ciências como um exemplo de oscilador harmônico , para ensinar dinâmica e movimento oscilatório . Um uso é demonstrar a lei da conservação de energia . [136] [137] Um objeto pesado como uma bola de boliche [138] ou bola de demolição [136] é preso a uma corda. O peso é então movido a alguns centímetros do rosto do voluntário, depois é liberado e pode balançar e voltar. Na maioria dos casos, o peso inverte a direção e então retorna para (quase) a mesma posição do local de liberação original - ou seja, a uma pequena distância do rosto do voluntário - deixando o voluntário ileso. Ocasionalmente, o voluntário é ferido se o voluntário não ficar parado [139] ou o pêndulo for inicialmente liberado com um empurrão (de modo que, quando retornar, ele ultrapasse a posição de liberação).

Dispositivo de tortura

Alega-se que o pêndulo foi usado como instrumento de tortura e execução pela Inquisição Espanhola [140] no século XVIII. A alegação está contida no livro de 1826 A história da Inquisição da Espanha , do padre, historiador e ativista liberal espanhol Juan Antonio Llorente . [141] Um pêndulo oscilante cuja ponta é uma lâmina de faca desce lentamente em direção a um prisioneiro amarrado até cortar seu corpo. [142] Este método de tortura veio à consciência popular através do conto de 1842 " The Pit and the Pendulum ", do autor americano Edgar Allan Poe [143], mas há um ceticismo considerável de que ele realmente foi usado.

A maioria das fontes bem informadas duvida que essa tortura tenha realmente sido usada. [144] [145] [146] A única evidência de seu uso é um parágrafo no prefácio da História de Llorente de 1826 , [141] relatando um relato de segunda mão de um único prisioneiro libertado do calabouço da Inquisição em Madri em 1820, que supostamente descreveu o método de tortura do pêndulo. Fontes modernas apontam que, devido à admoestação de Jesus contra o derramamento de sangue, os inquisidores só podiam usar métodos de tortura que não derramavam sangue, e o método do pêndulo teria violado essa restrição. Uma teoria é que Llorente entendeu mal o relato que ouviu; o prisioneiro se referia, na verdade, a outra tortura comum da Inquisição, o strappado (garrucha), em que o prisioneiro tem as mãos amarradas nas costas e é içado do chão por uma corda amarrada às mãos. [146] Este método também era conhecido como "pêndulo". O popular conto de terror de Poe e a consciência pública dos outros métodos brutais da Inquisição mantiveram vivo o mito desse elaborado método de tortura.

• Pêndulo de Rayleigh-Lorentz
• Pêndulos de Barton
• Pêndulo de Blackburn
• Pêndulo cônico
• Pêndulo cicloidal
• Pêndulo de Doubochinski
• Pêndulo duplo
• Pêndulo duplo invertido
• Pêndulo de Foucault
• Pêndulo furuta
• Pêndulo de ferro
• Pêndulo da roda de inércia
• Pêndulo invertido
• Harmonógrafo (também conhecido como "pêndulo de Lissajous")
• Pêndulo de Kapitza
• Pêndulo de Kater
• Metrônomo
• Pêndulo N [147]
• Pendulum (matemática)
• Relógio de pêndulo
• Falácia do foguete de pêndulo
• Pêndulo quântico
• Pêndulo de segundos
• Movimento harmônico simples
• Pêndulo esférico
• Pêndulo da mola
• Pêndulo de torção

1. ^ Uma "pequena" oscilação é aquela em que o ângulo θ é pequeno o suficiente para que sin (θ) possa ser aproximado por θ quando θ é medido em radianos
2. ^ O valor de "g" (aceleração da gravidade) no equador é 9,780 m / s 2 e nos pólos é 9,832 m / s 2 , uma diferença de 0,53%.

O valor de g refletido pelo período de um pêndulo varia de um lugar para outro. A força gravitacional varia com a distância do centro da Terra, ou seja, com a altitude - ou porque a forma da Terra é achatada, g varia com a latitude. Uma causa mais importante dessa redução em g no equador é porque o equador está girando a uma revolução por dia, de modo que a aceleração da força gravitacional é parcialmente cancelada lá pela força centrífuga .

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