Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é π e o raio da circunferência é igual a 6 cm

Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:

Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.

Graus

Radianos

Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento igual a 3 raios da circunferência, veja:

Comprimento AB = 3r → m(AB) = m(AÔB) = 3 rad
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio (r), determinamos a medida do ângulo central em radianos.

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões utilizando uma regra de três simples:

Exemplo: Faça as seguintes transformações: a) 100º em radianos

b) 7π/15 rad em graus

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Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre comprimento de arco de circunferência, tópico básico da trigonometria.

O ideal é que o aluno já possua conhecimentos acerca de ângulos e transformação de graus em radianos.

Bom estudo a todos.

Exercício 1. Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é 0,3π e o raio da circunferência é igual a 6 cm.

C = α.r

C = 0,3π . 6

C = 0,3 . 3,14 . 6

C = 5,65 cm

Exercício 2. Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é π e o raio da circunferência é igual a 9 cm.

C = α.r

C = π . 9

C = 3,14 . 9

C = 28,26 cm

Exercício 3. Calcular o comprimento do arco representado na figura abaixo:

C = α.r

C = 0,4π . 1

C = 0,4 . 3,14

C = 1,256 cm

Exercício 4 (DEPEN 2013 – CESPE). Abaixo, a figura 1 apresenta o arco de circunferência AB correspondente ao ângulo central 2π/3 de uma circunferência de centro O e raio AO = 12 cm e a figura 2 apresenta alguns triângulos. A partir dessas informações e considerando que XY denote a distância entre os pontos X e Y, considere, ainda, as seguintes proposições:

U: o comprimento do arco AB é maior do que OA + OB

V: QR + RP + PS < QP + PS

Com base nas informações e nas figuras acima apresentadas e tomando 3,14 como valor aproximado de π, julgue a afirmação: “A proposição U ⇒ V é falsa”

Resolução:

Analisando a tabela verdade condicional, para que a proposição seja falsa, é necessário que U seja verdadeira e V seja falsa.

Analisando a proposição U:

Como a circunferência tem raio igual a 12cm:

OA + OB = 24cm.

Calculando o tamanho do arco AB:

C = (2π/3).r = (2.3,14/3).12 = 25,12cm

Logo, a proposição U é verdadeira.

Analisando a proposição V:

Utilizando as desigualdades triangulares temos que QP < QR + RP

Somando PS em ambos os lados:

QP + PS < QR + RP + PS

Daí, a proposição V é Falsa.

Como U é uma proposição verdadeira e V é uma proposição Falsa, podemos concluir que a proposição U ⇒ V é falsa.

Resposta: CERTO

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre comprimento de arco?

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Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.

Para determinarmos o comprimento de uma circunferência utilizamos a seguinte expressão matemática: C = 2*π*r. A volta completa em uma circunferência é representada por 360º. Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe:

Caso o ângulo central seja dado em radianos, utilizamos a seguinte expressão: ℓ = α * r.

Exemplo 1

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º ℓ = 188,40 / 180

ℓ = 1,05 cm

Exemplo 2

Veja a figura do relógio:

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º ℓ = 5652 / 180 ℓ = 31,4 cm O espaço percorrido pelo ponteiro dos minutos será de 31,4 centímetros.

Exemplo 3

ℓ = α * r ℓ = π/3 * 5 ℓ = 5π/3 ℓ = 5*3,14 / 3 ℓ = 15,7 / 3

ℓ = 5,23 cm

Exemplo 4

Um pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?

O comprimento da trajetória entre A e B é de 3,9 centímetros.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola